数学的巧妙应用

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1、第4章数学的巧妙应用应用数学解决一些简单问题,初步偿试怎样把数学应用于解决问题的过程中,通过这些问题展示数学的奇妙作用,体会将数学用来解决各类实际问题时如何培养和发挥创造性思维能力,经常性地联想和积累,开拓思路,更好和更灵活地应用数学去解决问题。1.棋子颜色的变化任意拿出黑白两种颜色的棋子共八个,排成如图4－1所示的一个圆圈.然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子,在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子,放完后撤掉原来所放的棋子.再重复以上的过程,这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子,问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎

2、样变化呢?方法1：穷举法方法2：杨辉三角形法分析：放棋子规则：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白。有理数乘法：正正得正，负负得正，正负得负。二进制加法：设黑子用+1表示，白子用-1表示。记8颗分别为a1,a2,…,a8,(ai=+1,-1)第0次：a1a2a2a3a4a5a6a7a8第1次：a1a2a2a3a3a4…a7a8a8a1第2次：a1a22a3a2a32a4…a8a12a2...第8次：a1a28a328a456a570a656a728a88a1,…问题的推广：对任意n颗棋子进行讨论。结论：至多经过8次变换，棋子的

3、颜色全变黑。2.椅子的稳定性4条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上,问4条腿能否同时着地而放稳?分析:“起伏不平”:地面连续变化.“放稳”：4条腿能否同时着地。将其转化为两对腿是否能同时着地？总有一对腿能同时着地，另一对腿是否也能着地？任意三点共面，三条腿可以同时着地，关键在第四条腿是否也能着地？建立如图所示的坐标系AA’BB’CC’DD’x令f(x)是AC腿到地面的距离之和g(x)是BD腿到地面的距离之和则f(x)g(x)=0.须证明f(x)-g(x)=0对某一个x成立。h(x)=f(x)-g(x)连续变化1.若f

4、(0)-g(0)=0，则此时椅子已经放稳；2.若f(0)-g(0)>0，则此时椅子未放稳.将椅子转动90度，由f(x)和g(x)的定义知，f(90)=g(0),g(90)=f(0)故f(90)-g(90)<0。由h(x)=f(x)-g(x)的连续性，在0与90之间必有一个x，使得f(x)-g(x)=0。即此时椅子能放稳。3.若f(0)-g(0)<0，可进行类似处理。3.七桥问题18世纪,普鲁士哥尼斯堡镇上有一个小岛,岛旁流过一条河的两条支流,如图，七座桥跨在河的两支流上.问一个人能否经过每座桥一次且恰好经过每座桥一次并

5、且最后回到原出发点?抓住问题关键：将七桥图转化为下图：此问题引出一个重要数学分支：图论欧拉解决七桥问题是先考虑一般化问题:如果给定任意一个河道图与任意多座桥,可否判断每座桥能否恰好走过一次呢?这归结为一笔画问题考察一笔画的结构特征,有个起点和终点(若起点和终点重合时即为欧拉图).除起点与终点处,一笔画中出现在交点处的边总是一进一出的,故交点的度数总和为偶数,由此欧拉给出一般结论:(1)连接奇数个桥的陆地仅有一个或超过两个以上,不能实现一笔画.(2)连接奇数个桥的陆地仅有两个时,则从两者任一陆地出发,可以实现一笔画而停

6、在另一陆地.(3)每个陆地都连接有偶数个桥时,则从任一陆地出发都能实现一笔画,而回到出发点.4最短路径问题设有一个半径为r的圆形湖，圆心为O。A、B位于湖的两侧，AB连线过O，见图。现拟从A点步行到B点，在不得进入湖中的限制下，问怎样的路径最近?ABOrABOrEFE′F′将湖想象成凸出地面的木桩，在AB间拉一根软线，当线被拉紧时将得到最短路径。根据这样的想象，猜测可以如下得到最短路径：过A作圆的切线切圆于E，过B作圆的切线切圆于F。最短路径为由线段AE、弧EF和线段FB连接而成的连续曲线（根据对称性，AE′，弧E′

7、F′，F′B连接而成的连续曲线也是）。以上只是一种猜测，现在来证明这一猜测是正确的。为此，先介绍一下凸集与凸集的性质。定义2.1（凸集）称集合R为凸集，若x1、x2∈R及λ∈[0，1]，总有λx1+（1+λ）x2∈R。即若x1、x2∈R，则x1、x2的连线必整个地落在R中。定理2.2（分离定理）对平面中的凸集R与R外的一点K，存在直线l,l分离R与K，即R与K分别位于l的两侧（注：对一般的凸集R与R外的一点K，则存在超平面分离R与K），见图。klR下面证明猜想猜测证明如下：（方法一）显然，由AE、EF、FB及AE′，E′

8、F′，F′B围成的区域R是一凸集。利用分离定理易证最短径不可能经过R外的点，若不然，设Γ为最短路径，Γ过R外的一点M，则必存在直线l分离M与R，由于路径Γ是连续曲线，由A沿Γ到M，必交l于M1，由M沿Γ到B又必交l于M2。这样，直线段M1M2的长度必小于路径M1MM2的长度，与Γ是A到B的最短路径矛盾，至此，我们已证