概率论与数理统计第20讲

《概率论与数理统计第20讲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一节点估计一、点估计问题的提法二、估计量的求法三、小结第七章参数估计二、最大似然估计法最大似然法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的,然而，GaussFisher这个方法常归功于英国统计学家费歇.费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.最大似然估计法，是建立在最大似然原理的基础上的求点估计量的方法。最大似然原理的直观想法是：在试验中概率最大的事件最有可能出现。因此，一个试验如有若干个可能的结果A,B,C,…若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率最大。先

2、看一个简单例子：一只野兔从前方窜过.是谁打中的呢？某位同学与一位猎人一起外出打猎.如果要你推测，你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下.下面我们再看一个例子,进一步体会最大似然法的基本思想.你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率.看来这一枪是猎人射中的.这个例子所作的推断已经体现了最大似然法的基本思想.例：设甲箱中有99只红球，1只白球，乙箱中有99只白球，1只红球，现随机地取一箱，从中任取一球，结果是红球，问此球取自何箱？显然由于甲箱中取得红球的概率远大于乙箱中取得红球的概率，可以认为取自甲箱。这就是说所取得红球应属于有利于红球出现的箱内

3、。试验的条件应使A发生的概率最大，这是最大似然估计法的直观想法。最大似然法原理：最大似然法原理：则的联合概率密度为：设是来自X的样本，最大似然法原理：-----对数似然方程-----似然方程-----对数似然方程组-----似然方程组求最大似然估计量的一般步骤为：说明:若似然方程(组)无解，或似然函数不可导，此法失效，改用其它方法.解似然函数例1这一估计量与矩估计量是相同的.解：X的似然函数为例2取对数得它们与相应的矩估计量相同.例3X的概率密度为：分析：似然函数为但这不能说明不存在最大似然估计量，只是不能由似然方程组求解.显然，似然方程组无解，解3、最大似然估计的性质

4、：三、小结两种求点估计的方法:矩估计法最大似然估计法在统计问题中往往先使用最大似然估计法,在最大似然估计法使用不方便时,再用矩估计法.第三节估计量的评价标准一、问题的提出二、无偏性四、相合性五、小结三、有效性一、问题的提出从前一节可以看到,对于同一个参数,用不同的估计方法求出的估计量可能不相同,那么那一个估计量好？好坏的标准是什么?下面介绍几个常用标准.1、无偏性；2、有效性；3、相合性。二、无偏性无偏估计的实际意义:无系统误差.无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求.证例1特别地:不论总体X服从什么分布,只要它的数学期望存在,证例2(这种方法称为无偏化).证例3则Y的

5、分布函数为故Y的概率密度函数为由上例可知,同一个参数可以有不同的无偏估计量.三、有效性由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度,所以无偏估计以方差小者为好.证明例4(续例3)四、相合性（一致性）有时候不仅要求估计量有较小的方差，还希望当样本容量n充分大时，估计量能在某种意义下收敛于被估计参数，这就是所谓相合性（或一致性）概念。例：一般地,样本的阶原点矩是总体的阶原点矩的相合估计.由此可见,矩估计往往是相合估计.五、小结估计量的评选的三个标准无偏估计最小方差无偏估计相合估计相合性是对估计量的一个基本要求,不具备相合性的估计量是不予以考虑的.由最大似然估计法得到的估计量

6、,在一定条件下也具有相合性.估计量的相合性只有当样本容量相当大时,才能显示出优越性,这在实际中往往难以做到,因此,在工程中往往使用无偏性和有效性这两个标准.