【AAA】导数高考题(含答案)

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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】导数高考题1．已知函数f（R）=R3+aR+，g（R）=﹣lnR（i）当a为何值时，R轴为曲线R=f（R）的切线；（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（R）=min{f（R），g（R）}（R＞0），讨论h（R）零点的个数．解：（i）f′（R）=3R2+a，设曲线R=f（R）与R轴相切于点P（R0，0），则f（R0）=0，f′（R0）=0，∴，解得，a=．因此当a=﹣时，R轴为曲线R=f（R）的切线；（ii）当R∈（1，+∞）时，g（R）=﹣lnR＜0，∴函数h（R）=min{f（R），g（R）}≤g（R）＜0，故h（R）在R∈

2、（1，+∞）时无零点．当R=1时，若a≥﹣，则f（1）=a+≥0，∴h（R）=min{f（1），g（1）}=g（1）=0，故R=1是函数h（R）的一个零点；若a＜﹣，则f（1）=a+＜0，∴h（R）=min{f（1），g（1）}=f（1）＜0，故R=1不是函数h（R）的零点；当R∈（0，1）时，g（R）=﹣lnR＞0，因此只考虑f（R）在（0，1）内的零点个数即可．①当a≤﹣3或a≥0时，f′（R）=3R2+a在（0，1）内无零点，因此f（R）在区间（0，1）内单调，而f（0）=，f（1）=a+，∴当a≤﹣3时，函数f（R）在区间（0，1）内有一个零点，当a≥0时，函数f（R）在

3、区间（0，1）内没有零点．②当﹣3＜a＜0时，函数f（R）在内单调递减，在内单调递增，故当R=时，f（R）取得最小值=．若＞0，即，则f（R）在（0，1）内无零点．若=0，即a=﹣，则f（R）在（0，1）内有唯一零点．若＜0，即，由f（0）=，f（1）=a+，∴当时，f（R）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a时，f（R）在（0，1）内有一个零点．综上可得：当或a＜时，h（R）有一个零点；当a=或时，h（R）有两个零点；当时，函数h（R）有三个零点．2．设函数f（R）=emR+R2﹣mR．【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】（1）证明：f（R）在（

4、﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意R1，R2∈[﹣1，1]，都有

5、f（R1）﹣f（R2）

6、≤e﹣1，求m的取值范围．解：（1）证明：f′（R）=m（emR﹣1）+2R．若m≥0，则当R∈（﹣∞，0）时，emR﹣1≤0，f′（R）＜0；当R∈（0，+∞）时，emR﹣1≥0，f′（R）＞0．若m＜0，则当R∈（﹣∞，0）时，emR﹣1＞0，f′（R）＜0；当R∈（0，+∞）时，emR﹣1＜0，f′（R）＞0．所以，f（R）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（R）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f

7、（R）在R=0处取得最小值．所以对于任意R1，R2∈[﹣1，1]，

8、f（R1）﹣f（R2）

9、≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=et﹣t﹣e+1，则g′（t）=et﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即em﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]

10、3．函数f（R）=ln（R+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（R）的单调性；（Ⅱ）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：＜an≤．解：（Ⅰ）函数f（R）的定义域为（﹣1，+∞），f′（R）=，①当1＜a＜2时，若R∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（R）＞0，此时函数f（R）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若R∈（a2﹣2a，0），则f′（R）＜0，此时函数f（R）在（a2﹣2a，0）上是减函数，若R∈（0，+∞），则f′（R）＞0，此时函数f（R）在（0，+∞）上是增函数．②当a=2时，f′（R）＞0，此时函数f（R）在（﹣1，+∞）上是增函数，③当a＞2时，若R∈（﹣1，

11、0），则f′（R）＞0，此时函数f（R）在（﹣1，0）上是增函数，若R∈（0，a2﹣2a），则f′（R）＜0，此时函数f（R）在（0，a2﹣2a）上是减函数，若R∈（a2﹣2a，+∞），则f′（R）＞0，此时函数f（R）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时，此时函数f（R）在（﹣1，+∞）上是增函数，当R∈（0，+∞）时，f（R）＞f（0）=0，即ln（R+1）＞，（R＞0），【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】又由（Ⅰ）