工程测试-第一章信号及其描述

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1、例求图示单边指数函数的频谱。解：由式有于是图单边指数函数e-at(a>0)图单边指数函数e-at(a>0)的频谱小结：一个非周期函数可分解成频率f连续变化的谐波的叠加。式中X(f)df的是谐波ej2πf的系数，决定着信号的振幅和相位。X(f)或X(ω)为x(t)的连续频谱。由于X(f)一般为实变量f的复函数，故可将其写为将上式中的(或，当变量为ω时）称非周期信号x(t)的幅值谱，φ(f)（或φ(ω)）称x(t)的相位谱。周期和非周期信号幅值谱的区别①

2、X(ƒ)

3、为连续频谱，而

4、Cn

5、为离散频谱；②

6、Cn

7、的量纲

8、和信号幅值的量纲一致，即cm(振幅)，而

9、X(ƒ)

10、的量纲相当于

11、Cn

12、/ƒ，为单位频宽上的幅值，即“频谱密度函数”，cm/Hz（振幅/频率）。非周期信号幅值谱

13、X(ƒ)

14、与周期信号幅值谱

15、Cn

16、之间的区别：一、傅里叶变换的性质对称性（亦称对偶性）尺度变换性时移性频移性卷积1.对称性若:(时域信号)x(t)↔X(ƒ)(频域信号)，则X(t)↔x(-ƒ)2.尺度特性若x(t)↔X(ƒ)，则x(kt)↔1/

17、k

18、·X(ƒ/k)信号持续时间压缩k倍(k>1)，则信号的频宽扩宽k倍，而幅值变为原来的1/k。k=1k=3

19、3.时移性如果有则例求图所示矩形脉冲函数的频谱。解：该函数的表达式可写为可视为一个中心位于坐标原点的矩形脉冲时移至t0点位置所形成。则幅频谱和相频谱分别为图具有时移t0的矩形脉冲如果信号在时域中延迟了时间t0，其频谱幅值不会改变，而相频谱中各次谐波的相移-2πƒt0，与频率成正比。4.频移性如果有则f0——常数。图x(t)cosf0t的频谱5.卷积特性对于任意两个函数x1(t)和x2(t)，定义它们的卷积为：若x1(t)↔X1(ƒ)，x2(t)↔X2(ƒ)，则1.两个函数在时域中的卷积，对应于频域中的乘积2.两

20、个函数在时域中的乘积，对应于频域中的卷积x1(t)*x2(t)↔X1(ƒ)X2(ƒ)x1(t)x2(t)↔X1(ƒ)*X2(ƒ)时域卷积频域卷积证明一（时域卷积）根据卷积积分的定义有其傅里叶变换为由时移性知，代入上式得证明二：令卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研究中占有重要的地位。特别是关于信号的时间域与变换域分析，它是沟通时域－频域的一个桥梁。在系统分析中，系统输入／输出和系统特性的作用关系在时间域就体现为卷积积分的关系x(t)h(t)y(t)卷积的物理意义对于线性系统而言，系统的输出y(t)是任意

21、输入x(t)与系统脉冲响应函数h(t)的卷积。二、典型信号的傅里叶变换只有满足狄里赫利条件的信号才具有傅里叶变换，即。有限平均功率信号，它们在(-∞,∞)区域上的能量可能趋近于无穷，但它们的功率是有限的，即满足利用δ函数和某些高阶奇异函数的傅立叶变换来实现这些函数的傅立叶变换。1.单位脉冲函数在Δ时间内激发有一矩形脉冲pΔ(t)，的幅值为，面积为1。当Δ→0时，该矩形脉冲pΔ(t)的极限便称为单位脉冲(impulse)函数或δ函数。性质：（1）（2）图矩形脉冲函数与δ函数δ(t)乘积性和积分性乘积性积分性δ(t

22、)与其它信号的卷积结果：x(t)与δ(t)的卷积等于x(t)。δ函数的卷积特性1结果：δ(t±t0)时卷积，就是将函数x(t)在发生脉冲函数的坐标位置上重新作图当脉冲函数为δ(t±t0)时，与函数x(t)的卷积δ函数的卷积特性2δ(t)的频谱由逆变换：δ(t)↔1即：1↔δ(ƒ)δ函数的频谱直流分量的频谱由对称性得：根据时移和频移特性：↔1·e-j2πƒto↔δ(ƒ-ƒ0)δ(t-t0)ej2πƒ0tsin2πƒot=j/2(e-j2πƒot-ej2πƒot)cos2πƒot=1/2(e-j2πƒot+ej2π

23、ƒot)sin2πƒot↔j/2[δ(ƒ+ƒ0)-δ(ƒ-ƒ0)]cos2πƒot↔1/2[δ(ƒ+ƒ0)+δ(ƒ-ƒ0)]根据ej2πƒ0t↔δ(ƒ-ƒ0)正弦函数的频谱2正、余弦函数的频谱3周期单位脉冲序列的频谱相等间隔的周期单位脉冲序列，常称为梳状函数式中，Ts—周期，n—整数，n=0,±1,±2,±3,…。为周期函数，而ƒs=1/Ts，用傅里叶级数的复指数形式表示：comb(t)时域中，序列的周期为Ts，频域中，序列的周期为1/Ts。时域中，幅值为1频域中，幅值为1/Ts进行傅里叶变换：ej2πƒ0t↔

24、δ(ƒ-ƒ0)ƒs=1/Ts，comb(f)comb(t)时域表达式例:求被截取的余弦信号的频谱函数4、单位阶跃信号及其谱分析（1）、定义阶跃信号u（t）可表示阶跃信号在跳变点t=0处，函数值未定义，或在t=0处规定。幅值1的阶跃信号称为单位阶跃信号，表示为10单位阶跃信号u(t)t（2）、频谱分析由于单位阶跃信号不满足绝对可积条件，不能直接由定义给出其频谱，可把它看成当时的指数信号在