函数的单调性与导数(二)

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1、函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，增函数减函数则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间复习引入G=(a,b)以前,我们主要采用定义法去判断函数的单调性.在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.判断函数单调性有哪些方法？图象法定义法已知函数导数

2、的几何意义过曲线y=f(x)上一点(x,y)的曲线的切线的斜率k=应用：1、求切线的斜率及切线方程2、求切线的倾斜角注意：已知点是不是切点xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.(p90)在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.p90结论例1(教材）已知导函数的下列信息:当14,或x<1时,当x=4,或x=1时,试画出函数的图象的大致形状.解:当1

3、当x>4,或x<1时,可知在此区间内单调递减;当x=4,或x=1时,综上,函数图象的大致形状如右图所示.xyO14例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:解:(1)因为,所以因此,函数在上单调递增.(2)因为,所以当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:解:(3)因为,所以因此,函数在上单调递减.例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(4)因为,所以当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:求可导函数f(x)单调区间的步

4、骤：(1)求f’(x)(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）练习P9311.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:函数单调性与导数正负的关系注意：应正确理解“某个区间”的含义,它必是定义域内的某个区间。（1）求函数的定义域（2）求函数的导数（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围(4)下结论，写出函数的单调区间。总结:用“导数法”求单调区间的步骤：练习：p93练习1作业：p98习题A1、p93练习1（3、4）函数的单调性与导数（二）复习1、函数的单调性与

5、导数正负的关系2、利用导数求函数单调性的步骤3、练习（补充）填空、解答1．确定函数f(x)=x3－6x2+9x+2单调增区间是，单调减区间是．2．已知函数f(x)=x2(x－3)，则f(x)在R上的单调递减区间是，单调递增区间为．3．若三次函数f(x)=x3+kx在（－∞，+∞）内是增函数，则实数k的取值范围是．4、设f(x)=(x－1)2，g(x)=x2－1，(1)写出f[g(x)]的解析式；(2)求函数f[g(x)]的单调区间．．证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)求f’(x)(2)确认f’(x)在

6、(a,b)内的符号(3)作出结论例求证函数f(x)=2x3-6x2+7在(0,2)内是减函数1.对x∈(a,b),如果f/(x)≥0,但f/(x)不恒为0,则f(x)在区间(a,b)上是增函数;2.对x∈(a,b),如果f/(x)≤0,但f/(x)不恒为0,则f(x)在区间(a,b)上是减函数;补充结论解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增练习P93练习3、4例3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D

7、)htOhtOhtOhtO一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象“平缓”.例求证：方程只有一个根。知识小结：一般地，函数y＝f（x）在某个区间内：如果，则f(x)在该区间是增函数。如果，则f(x)在该区间是减函数。求单调区间的步骤:（1）求函数的定义域（2）求函数的导数（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。f’(x)>

8、0f’(x)<0导函数f’(x)的------与原函数f(x)的增减性有关正负思考题A作业1、P9822、求证函数y=3x2-2x+1在（1／3，+∞）是增函数