专题训练(五) 角平分线的六种运用

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1、专题训练(五)　角平分线的六种运用►　运用一　确定点的坐标和线段的长1．如图5－ZT－1所示，在平面直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D到AB的距离DE＝3，则点D的坐标是________．图5－ZT－12．如图5－ZT－2，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为________．图5－ZT－2►　运用二　确定三角形的面积3．如图5－ZT－3，在△ABC中，∠A＝90°，BD是角平分线．若AB＝8，BC＝10，S△ABD＝，求△BDC的面积

2、．图5－ZT－34．如图5－ZT－4，D，E，F分别是△ABC三边上的点，AD平分∠BAC，CE＝BF.若S△DCE＝4，求S△DBF.　图5－ZT－45．如图5－ZT－5，现有一块三角形的空地，其三条边长分别是20m，30m，40m．现要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分，分别种植不同种类的花，请你设计一种方案，并简单说明理由．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)图5－ZT－5►　运用三　确定三角形的周长6．如图5－ZT－6，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AC，AC＝20，求△CED的周长．图

3、5－ZT－6►　运用四　证明两条线段相等7．如图5－ZT－7，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足．求证：PM＝PN.图5－ZT－78．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图5－ZT－8，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD.对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证：OE＝OF.图5－ZT－8►　运用五　角平分线的性质和判定的综合9．如图5－ZT－9所示，△ABC的外角∠CBD，∠BCE的平分线相交于点F，则下列结论一定成立的

4、是(　　)A．AF平分BCB．AF⊥BCC．AF平分∠BACD．FA平分∠BFC图5－ZT－910．如图5－ZT－10所示，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.求证：(1)AM平分∠DAB；(2)AD＝AB＋CD.图5－ZT－1011．已知：如图5－ZT－11，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，BO平分∠ABC交AC于点O.求证：DO平分∠ADC.图5－ZT－11►　运用六　角平分线在实际生活中的应用12．如图5－ZT－12所示，O为码头，A，B两个灯塔与码头O的距离相等，OA，OB为海岸线．一轮船P离

5、开码头O，计划沿∠AOB的平分线航行．(1)用尺规作出轮船的预定航线OC；(2)在航行途中，轮船P始终保持与灯塔A，B的距离相等，则轮船航行时是否偏离了预定航线？请说明理由．图5－ZT－12详解详析1．[答案](3，0)[解析]欲求点D的坐标，先求线段OD的长．因为AD是Rt△OAB的角平分线，DE⊥AB，OD⊥OA，所以DE＝OD＝3，所以点D的坐标是(3，0)．2．[答案]4[解析]由垂线段最短可知，当DP⊥BC时，DP的长最小．∵∠A＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C，∴∠DBA＝∠DBC，∴BD平分∠ABC.∵DA⊥AB，DP

6、⊥BC，∴DP＝DA＝4.3．[解析]由已知BC＝10，欲求△BDC的面积，需求出BC边上的高，从而考虑过点D作DE⊥BC，由角平分线的性质可知DE＝AD，从而问题转化为求AD的长．解：如图，过点D作DE⊥BC，垂足为E.因为AB＝8，S△ABD＝，所以AB·AD＝，所以AD＝.因为BD是角平分线，DA⊥AB，DE⊥BC，所以DE＝AD＝，所以S△BDC＝BC·DE＝×10×＝.4．[解析]猜想△DCE和△DBF的面积相等，由已知CE＝BF，故只需说明两个三角形中以CE，BF为底边上的高相等．解：如图，过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥

7、AC于点G.因为点D在∠BAC的平分线上，所以DG＝DH.又因为CE＝BF，所以CE·DG＝BF·DH，所以S△DBF＝S△DCE＝4.5．解：分别作∠ACB和∠ABC的平分线，相交于点P.连接PA，则△PAB，△PAC，△PBC的面积之比为2∶3∶4(如图所示)．理由如下：∵P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，如图，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PH⊥BC于点H，则PE＝PF＝PH，∴S△PAB＝AB·PE＝10PE，S△PAC＝PF·AC＝15PF，S△PBC＝PH·BC＝20PH，∴S△PAB∶S△PAC∶S

8、△PBC＝10∶15∶20＝2∶3∶4.6．[解析]△CED的周长为CE＋DE＋CD，而题中仅给出AC＝20，于是猜想CE＋DE＋CD＝AC，可通过角平分线的性质及全等三角形的性质进行线段间的转化，进而验证猜想．解：因为