高一数学——恒成立问题

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1、高一数学——恒成立问题编辑人：MR.XUE1函数fx0恒成立fx0min1.1二次函数（定义域无限制）的恒成立问题2对于一元二次函数f(x)axbxc0(a0,xR)有：（1）f(x)0在xR上恒成立a0且0；（2）f(x)0在xR上恒成立a0且02【例1】若不等式(m1)x(m1)x20的解集是R，求m的范围。2【例2】若关于x的不等式xaxa0的解集为(,)，求实数a的取值范围；2【练习1】若函数ymx68mxm在R上恒成立，求m的取值范围。2函数f

2、xa恒成立，fxa（分离参数法）min2.1二次函数（限制定义域）的恒成立问题2【练习1】当x1,2时，不等式xmx40恒成立，则m的取值范围是.2【练习2】【2006江西】对于一切实数，不等式xax10恒成立，则实数a的取值范围是2【练习3】若不等式x2mx2m10对满足01x的所有实数x都成立，求m的取值范围。21【练习4】已知函数fx()xax10对于一切x(0,]成立，求a的取值范围。22【练习5】已知函数f(x)ax4xx,x(0,4]时f(x)0恒成立，求实数

3、a的取值范围。24xx解：将问题转化为a对x(0,4]恒成立。x第1页共7页高一数学——恒成立问题编辑人：MR.XUE24xx令g(x)，则ag(x)minx24xx4由g(x)1可知g(x)在(0,4]上为减函数，故g(x)g(4)0minxx∴a0即a的取值范围为(,0)。a【练习6】已知函数fxlgx2，若对任意x2,恒有fx0，试确定a的x取值范围。22【练习7】【2010天津理数】（16）设函数fx()x1，对任意x,，3x2f

4、4mfx()fx(1)4()fm恒成立，则实数m的取值范围是.m【答案】D【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。2x22223依据题意得14mx(1)(x1)14(m1)在x[,)上恒定成立，即2m21232341m在x[,)上恒成立。22mxx23325152当x时函数y1取得最小值，所以4m，即222xx3m33322(3mm1)(43)0，解得m或m222【练习8】已知函数gxax21axbab0,1在区间2,

5、3上最大值是4，最小gx值是1.设函数fxx⑴求ab,的值和fx的解析式xx⑵若不等式fk220在x1,1时恒成立，求k的取值范围第2页共7页高一数学——恒成立问题编辑人：MR.XUE2.2已知单调性，求参数取值涉及的恒成立问题（涉及放缩技巧）2a【练习1】已知函数fxxx0,aR在区间[2,)上是增函数，求a的取值范围x答案：a162【练习2】【2011江西高考】已知函数fxxxa，若fx在2,3上单调递减，求参数a的取值范围a【练习3】已知函数fx

6、logx8在1,上单调递减，求a的取值范围12x答案：19a1【练习4】已知函数fx2ax，x(0,1]2x⑴若函数fx在x(0,1]上是增函数，求a的取值范围⑵求fx在x(0,1]上的最大值32答案：⑴a1⑵a1时fx21aa1时，fx3amaxmax2a【练习5】【2007上海高考】已知函数fxx(x0,aR)x（1）判断函数fx的奇偶性；（2）若fx在区间2,是增函数，求实数a的取值范围。解：（1）当a0时，fxx2

7、为偶函数；当a0时，fx既不是奇函数也不是偶函数.22aa（2）设xx212，fx1fx2x1x2xx12xx12xxxxa1212xx12，由xx212得xxx121x216，x1x20,xx120要使fx在区间2,是增函数只需fx12fx0，即xxx121x2a0恒成立，则a16。第3页共7页高一数学——恒成立问题编辑人：MR.XUExx2【练习6】如果函数fx()aa(3a1)(a0且a1)在区间0，∞上是增函数，那

8、么实数a的取值范围是（）233A．0，B．，1C．13，D．，∞3323分类讨论法2【练习1】已知函数fx()xax3a，【1】在R上fx()0恒成立，求a的取值范