高考数学恒成立问题.doc

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1、高考中有关恒成立问题的解题策略恒成立问题是历年高考的一个热点..这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.恒成立问题在解题过程中有以下几种方法和策略.现在我们一起来探讨其中一些典型的问题.方法一、赋特值——利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．（2012江西）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中

2、点，则A.2B.4C.5D.10.略解：题目是对所有直角三角形恒成立，故取等腰直角三角形并且直角边长为2这样一种特殊的三角形，由此，

3、PA

4、，

5、PB

6、，

7、PB

8、都为定值。易得答案D.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.方法二、一次函数型——利用单调性求解对于一次函数有：例2．若不等式对满足的所有都成立，求x的范围围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，我们的原则是谁有范围谁当自变量，显然将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解析：我们可以用改变主元的办法

9、，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的范围是)此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.策略三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解对于二次函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即f(x)>0恒成立；f(x)<0恒成立.例3（2013高考重庆）设，不等式对恒成立，则3的取值范围为若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.例4（07年山东

10、卷文15)当时，不等式恒成立，则的取值范围是解析:设，则有由此可得这种类型利用了二次函数的根的分布总结：，设且a>0上恒成立策略四、变量分离型——分离变量，巧妙求解利用函数的最值（或值域）（1）对任意x都成立；（2）对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”例5（07年山东卷文15)当时，不等式恒成立，则的取值范围是．解析:当时，由得．令，则易知在上是减函数，所以时，则所以利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题.策略五、数形结合——直观求解例6(07安徽理科3)若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是O(

11、A)(B)(C)（D）3解析：对,不等式恒成立，则由一次函数性质及图像知，即．上述例子剖析了近年数学高考中恒成立问题的题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的不同，但其实质却都与求函数的最值是等价的，这也正体现了数学中的“统一美”．3