几何图形计数

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1、学数学·计数问题几何图形计数问题例一、数一数，下图中包含几条线段。解析：数线段是几何图形计数问题的重点和基础。点和线段是基本的几何图形元素，一般可采取按照线段端点顺序分类加法计数。．．．．．．1EA○A编序号．．如图，我们先把题图线段上各点按顺序编序号，然后从“0”号端点开始计数。以“0”号端点为左端点的一类线段有4−0=4条；以“1”号端点为左端点的一类线段有4−1=3条；以“2”号端点为左端点的一类线段有4−2=2条；以“3”号端点为左端点的一类线段有4−3=1条；将各类线段的数目相加，便可得到题图中所包含的线段总数：4+3+2+1=

2、10我们发现：把题图左端点编为“0”，向右依次编号，一直到“4”，而题图中所包含的线段总数恰为4~1连续自然数的和：4+3+2+1=10；若某一线段上共有包含两端点在内的10个点，按照上述方法可编号为0~9；那么，这条线段所包含的线段总数应为：9+8+7+6+5+4+3+2+1=452EA○A数基本线段．．．．题图中，相邻两点间的线段，比如????、????等，这类线段内不包含其它已知点，姑且称之为基本线段。题图中有4条基本线段:????、????、????、????；相邻两条基本线段相加:????+????、????+????、????

3、+????，则组成3条线段；相邻三条基本线段相加:????+????+????、????+????+????，则组成2条线段；相邻四条基本线段相加:????+????+????+????，则组成1条线段；将各类线段数目相加，便可得到题图中所包含的线段总数：4+3+2+1=10答：图中共有10条线段1学数学·计数问题例二、如图，数一数，图中包含几个角。解析：角的计数，可与线段计数采用相同的方法，即采用分类加法计数。A○1EA标注序号．．把题图中已知射线依序编号为0、1、2、3，如图所示。一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的

4、图形，叫做角。比如，射线OA绕公共端点O,沿顺时针方向旋转到射线OB的位置，便形成∠AOB.据此，则有：以0号射线为始边，沿顺时针方向分别旋转到射线1、2、3的位置所形成的角有3个；以1号射线为始边，沿顺时针方向分别旋转到射线2、3的位置所形成的角有2个；以2号射线为始边，沿顺时针方向旋转到射线3的位置所形成的角有1个；把这三类角的数目相加，便得到题图所包含的角的总数:3+2+1=6A○2EA数基本角．．．具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。在题图已知的四条具有公共端点的射线中，任取两条相邻的射线都可以组成．．一个角，比如，射线OA与

5、OB相邻，可构成∠AOB；不妨称这类角为“基本角”。先数一数题图中有几个基本角，再按照不同的组合方式，用基本角来组成其他不同种类的角，最后各类数目相加。题图中的基本角：∠AOB、∠BOC、∠COD，共有3个；由两个相邻基本角所组成的角：∠AOB+∠BOC、∠BOC+∠COD，共有2个；由三个相邻基本角所组成的角：∠AOB+∠BOC+∠COD，共有1个；则题图所包含的角的总数为:3+2+1=6.答：题图中包含6个角。我们发现：题图所包含的角的总数等于由表示基本角数的数字开始到1的连续自然数之和：数数右图共包含多少角？解：右图共有6个基本角，

6、所包含角的总数是6+5+4+3+3+1=212学数学·计数问题例三、如图，共有多少角？解析：本题与例二不同，要求数数一个周角内包含多少角。解题方法可参考例二，采用分类相加计数。题图共有4个基本角：∠1、∠2、∠3、∠4；相邻两个基本角相加，可组成4个角：∠1+∠2、∠2+∠3、∠3+∠4、∠4+1；相邻三个基本角相加，可组成4个角：∠1+∠2+∠3、∠2+∠3+∠4、∠3+∠4+∠1、∠4+∠1+∠2；相邻四个基本角相加，可组成1个角：∠1+∠2+∠3+∠4；这4类角的个数之和为：4×3+1=13答：图中共有13个角。例四、如图，数数图中

7、共有几个三角形。解析：A○1EA参照数线段的方法，按照三角形边的顺序来分类加法计数。先把具有共有端点A的线段顺序标注序号，如图所示。以0号边为左侧边的三角形有4个；以1号边为左侧边的三角形有3个；以2号边为左侧边的三角形有2个；以3号边为左侧边的三角形有1个；共有三角形10个：4+3+2+1=103学数学·计数问题A○2EA数基本三角形．．．．．题图特征：aEA○A所有三角形都具有公共顶点A;bEA○A线段BF上有4条基本线段。由A点分别连接一个基本线段的两端点，便可组成一个三角形，比如，∆ABC、∆ACD等，不妨称这类以A为公共顶点的三

8、角形为基本三角形。显然，题图中的基本三角形与线段BF上的基本线段的数目相同。将相邻基本三角形两两、三三、四四组合，则可得到不同类型的三角形。而各类三角形的总数则为由表示基本三角形数（即基本线段