2015数学建模竞赛A题：太阳影子定位技术研究

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1、太阳影子定位技术的研究摘要本文针对太阳影子定位问题，通过运用天球模型和最小二乘法，研究了直杆太阳影子长度与直杆长度、太阳高度角、采样点经纬度、采样日期和采样时间等参数的关系，实现了利用物体的太阳影子变化来确定视频拍摄地点和日期。针对问题一，在已知直杆长度的情况下，太阳影子长度和太阳高度角满足一个确定的函数关系。因此，我们可以将研究对象从太阳影子长度转换为太阳高度角。引入天球模型后，使用天球坐标系统中的赤道坐标系和地平坐标系来描述太阳的运动和位置，得到了太阳高度角与采样地点经度、纬度、日期和当天具体时间的

2、函数关系，进而得到了影子长度与各参数的关系。之后，使用控制变量法分别得到了影子长度关于直杆长度、经度、纬度、日期和时间这5个参数的变化规律（见正文图5、6、7、8、9）。最后，运用该模型画出了天安门广场上3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线（见正文图10）。针对问题二，首先，我们通过影子的顶点坐标得到各个时刻的影子长度。之后进行数据标准化，消除直杆长度对影子长度的影响。任意选取某一经纬度为假设采样点，将经度、纬度作为变量，使用问题一中的模型求出该假设采样点的影子长度。最后使用最小二乘法将这些假设采样点数

3、据与原始影子长度数据进行拟合，在MATLAB中编程计算，得到的最小目标函数值?=1.2981×10−7，该假设采样点为东经109°，北纬17°（见正文图11），其周边海南三亚市、越南沿海地区都可以认为是采样点的可能位置。针对问题三，题中虽然没有给出采样日期，但其整体思路与问题二是一致的。在选取假设采样点后，将经度、纬度和日期作为变量，使用问题一中的模型求出该假设采样点的影子长度。最后使用最小二乘法将这些假设采样点数据与原始影子长度数据进行拟合，在MATLAB中编程计算，得到的结果为：附件2中的采样点在东

4、经79°，北纬43°，采样日期为6月12日；附件3中的采样点在东经107°，北纬28°，采样日期为11月25日。针对问题四，我们运用射影几何学建立模型对视频资料进行图像处理，从视频中以8:56:00为起点，每间隔两分钟取一帧画面，测量出该时刻的影子长度。最后我们得到了20组数据。结合问题二的模型，在MATLAB中编程计算，得到最优拟合结果为：东经100°，北纬14°附近区域，如泰国的曼谷。最后，当日期未知时，我们可以在得到影子长度之后采用问题三的模型进行求解。在MATLAB中编程计算，得到最优拟合结果为

5、：东经106°，北纬0°附近区域，如新加坡、印度尼西亚的坤甸和战碑。关键字：天球模型最小二乘法射影几何学11问题重述如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线

6、。2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未

7、知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？2模型的假设与符号的约定2.1模型的假设与说明（1）假设地球为一个规则的正球体；（2）文中仅考虑采样当年为平年的情况；（3）忽略大气层对太阳光线折射的影响；2.2符号的约定与说明符号符号的意义ℎ直杆的长度2?影子的长度ℎ?太阳高度角??天球的北天极??天球的南天极????天球的天轴线δ赤纬Ω时角??太阳方位角?真太阳时??北京时（东经120°的时间）??经度订正??时差3问题一模型的建立和求解3.1问题一的分析问题一要求我们分析直杆的太阳影子长度关于各个参数的变化

8、规律，并画出影子长度的变化曲线。经验和常识告诉我们，物体太阳影子的长度与物体本身长度和太阳高度角这两个因素有关。因此，针对问题一，在已知直杆长度情况下，我们只需要建立模型分析太阳高度角的变化，进而得到影子长度的变化情况。3.2模型的建立3.2.1太阳高度角与影子长度的计算为了确定影子长度、直杆长度和太阳高度角三者的关系，我们可以用如下所示的模拟图来辅助分析。3太阳光直ℎ杆ℎ?影子?图1图中ℎ表示直杆的长度，?表示影子的长度，ℎ?表示太阳高度