太阳影子定位-2015数学建模

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1、太阳影子定位摘要：本文以立杆影子数据为例，分析立杆影子的移动规律并解决了与其时空关系。对于问题1：首先以地球坐标系为基本参考系，建立了天球坐标系，以观测者所在地地平面为基础，建立了地平坐标系，采用太阳方位角和太阳高度角来描述太阳相对于观测者的位置；其次通过天球坐标系和地平坐标系的几何关系，建立杆影顶点的位置与杆高、太阳方位角和高度角的数学模型；然后由立杆在地平坐标系中的位置建立杆影长度随时间的变化的模型；最后得出杆影长度随太阳高度角增加而减小，早晨影长随时间推移而变短，中午影长最短，下午影长随时间推移而变长，影长与太阳方位角和时角的变化关系与前者相似。对

2、于问题二：根据问题一建立的模型，首先反解出太阳方位角和高度角，根据纬度与太阳方位角、高度角和赤纬角的关系，通过求解非线性方程的根来计算立杆的纬度；然后根据上述计算结果，结合经度与太阳高度角和赤纬角关系，计算出立杆的经度，从而建立了立杆位置的求解模型；最后根据上述模型，结合附件1数据，计算出不同杆高时立杆的位置，大约位于东经109度到115度之间，而杆高随纬度变化较大。对于问题三：在问题二的基础上，太阳赤纬角为未知参数，通过给定未知参数的范围，由太阳方位角和高度角的计算公式得出计算值，然后根据已知的杆影顶点坐标，结合太阳方位角和高度角计算方法，得出立杆点太

3、阳赤纬角的真实值。考虑计算值和真实值之差的平方和最小为目标，建立带有约束条件的多目标最优化模型，最后通过MATLAB编写程序求得附件2的最优位置为北纬30.01529度，东经157.0815度。附件3的最优位置为南纬27.0115度，东经98.04841度。对于问题四：建立以立杆与地平面交点为原点的平面直角坐标系，通过数字化的方法提取附件4中视频杆影顶点的坐标数据和观测时间。然后根据已知的日期将提取的数据代入问题3的模型中求得立杆点的位置为南纬22.0127度，东经115.0567度。关键字：天球坐标系；地平坐标系；太阳高度角；太阳方位角；赤纬角；时角1

4、1、问题的提出1.1问题背景太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法，如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面。1.2问题内容（1）建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒，东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。（2）根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点

5、坐标数据，给出若干个可能的地点。（3）根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。（4）附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？2、假设和符号说明2.1模型假设（1）忽略大气对太阳光的折射影响；（2）太阳光线射入地球为平行光；（3）在确定某一天，太阳的赤纬角

6、不随时间（一天24小时之内）而变化；31（4）假设地球为圆球体；2.2符号说明符号说明单位天数（从每天1月1日起算）天杆子高度杆影长度立杆顶点影子端点坐标立杆顶点影子端点坐标模型计算值立杆顶点影子端点坐标立杆顶点影子端点坐标模型计算值太阳高度角通过给定参数范围计算的太阳高度角赤纬角方位角通过给定参数范围计算的太阳方位角纬度经度时角一天内的时间（24小时制）3、问题分析通过问题分析和实际的观察可知，影子长度与太阳高度角，方位角，赤纬角，时角和杆长有关。地球自转并绕太阳公转，这个轨道线是固定的，日升日落。同一地点在一天内太阳高度角不断变化，31而且一年四季每

7、天的太阳高度角也是变化的，但这个变化是固定的。若以地球作为参照物，地球是相对静止，那么在地球上观察到的是太阳在天空中移动。所以在一个规定的地方，每年同一天，太阳在此地上空运动轨迹我们认为是是固定的，任何时刻的具体值都可求出。所以为了确切地描述太阳在天空中的移动轨迹与位置关系建立数学模型[1]。以地球球心O为中心，以任意长为半径作一假想球面，太阳这个球面上绕地轴转动，这个假想的球体称为天球[1]。延长地轴线与天球相交的两点称为天极，为北天极，为南天极，即为天轴。将地球赤道面无限放大与天球相交所成的圆称为天球赤道。在无限放大的黄道平面上可以认为太阳沿着天球黄

8、道绕地球周而复始地运动（如图1所示）。图1天球坐标系太阳在天球上的位置每日、每时