《插值方法基本思想》ppt课件

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1、插值法基本思路张兴元2011年8月一元多项式插值教学内容插值问题插值问题求解方法（重点）线性插值二次插值n次插值分段线性插值Hermite插值分段三次Hermite插值样条插值函数（难点）要求掌握以上方法的原理及其在MATLAB中的实现方法插值问题1.提法已知n+1个节点(xj,yj)，j=0,1,…，n，其中xj互不相同，不妨设a=x0

2、本思路构造一个相对简单的函数y=f(x)，使f(x)通过全部节点，即f(xj)=yj（j=0,1,…,n），再用f(x)计算插值，即y*=f(x*)。f(x)称为插值函数。如果f(x)为k次多项式，f(x)就是插值多项式，此时插值为代数插值；如果f(x)为有理函数，就是有理插值；如果f(x)为三角函数，则为三角插值。多项式插值----线性插值xx0x1yy0y1y=f(x)函数表一次函数通过两个不同的插值点线性插值----两点式方程Lagrange插值：是l0(x)和l1(x)的线性组合基函数：线性插值----点斜式方程

3、均差：Newton插值：一阶均差的一般定义：线性插值---余项？两种不同的构造方式（Lagrange和Newton）效果一样吗？此处一样！？两种不同的构造方式（Lagrange和Newton）可以推广到多个点吗？可以！多项式插值----二次插值xx0x1x2yy0y1y2一次函数通过三个不同的插值点y=f(x)函数表二次插值----Lagrange基函数方法Lagrange插值：二次插值----Newton均差法二阶均差：Newton插值：二次插值----余项【例1】已知，试利用插值法近似计算。【解】有几位有效数字？多项

4、式插值----n次插值xx0x1…xnyy0y1…yny=f(x)函数表(xi互不相同)存在吗？唯一吗？如何构造？n次插值----存在性、唯一性记A=(an，an-1，…，a0)T，Y=(y0，y1，…，yn)T存在且唯一！xx0x1…xnyy0y1…ynn次插值----插值多项式的构造方法一：Lagrange型插值多项式基函数：基函数的特点：Lagrange插值多项式n次插值----插值多项式的构造方法二：Newton型插值多项式均差表或差商表Newton插值多项式：n次插值----插值余项与事后误差估计插值余项其中事

5、后误差估计方法xx0x1…xnxn+1yy0y1…ynyn+1误差n次插值----示例【例2】基于5个点（k,cos(k)），k=0,1,2,3,4，(1)构造f(x)=cos(x)的差商表；(2)并用差商表找出牛顿插值多项式的系数；(3)写出四次牛顿插值多项式N4(x)；(4)计算N4(2.5)。【解】第一步，明确插值点(xk,yk)；第二步，构造差商表；第三步，写出相应的牛顿插值多项式N4(x)；第四步，计算近似值N4(2.5)。多项式插值的震荡性质用Lagrange插值多项式LN(x)近似f(x)(a≤x≤b)，虽

6、然随着节点个数的增加，LN(x)的次数N更大，多数情况下误差

7、RN(x)

8、会变小。但是N增加时，LN(x)的光滑性变坏，有时会出现很大的震荡。理论上，当N→∞时，在[a，b]内并不能保证LN(x)处处收敛于f(x)。Runge给出了一个有名的例子：多项式插值的震荡性质Runge给出了一个有名的例子：取xj=-5+10j/N，j=0，1，…，N。对于N=2，4，6，…作Ln(x)，会得到如下图所示的结果。可以看出，对于较大的

9、x

10、，随着N的增大，LN(x)振荡起来越大。事实上，有人证明了仅当

11、x

12、≤3.63时，才有而在此区

13、间外，LN(x)是发散的。多项式插值的震荡性质高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。多项式插值----分段线性插值xx0x1…xnyy0y1…yn是线性函数多项式插值----分段线性插值分段线性插值函数为：余项估计为：多项式插值----分段线性插值分段线性插值多项式L1(x)的图像上是连接各插值点的一条折线,如右图:y=sin(x)的插值逼近图形变化。特点：曲线的光滑性较差在节点处有尖点增加节点，减小步长，会改善效果。若f(x)在[a,b]上连续，则多项式插值----Hermite插值考虑只有两

14、个节点的插值问题如何选择基函数多项式插值----Hermite插值希望插值系数与Lagrange插值一样简单，假设其中多项式插值----Hermite插值可知由可得Lagrange插值基函数类似可得即将以上结果代入多项式插值----Hermite插值多项式插值----Hermite插值得两个节点的三次Hermite插