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1、§5.1内容回顾定积分定义定积分的几何意义:各部分面积的代数和可积的充分条件:1.2.且只有有限个间断点定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)规定定积分的性质推论1.若在[a,b]上则6.设则5.若在[a,b]上则7.定积分中值定理则至少存在一点使推论2.3.若在[a,b]上连续,证明且若(P235第12题)则(1)且若则(2)且若则(3)证:(1)(反证)设则存在x0使得f(x0)>0不妨设则存在x0的某邻域U(x0,δ),当x属于U(x0,δ)时,与矛盾.所以且若则(2)由(1)反证即得.作辅助函数F(x)=g(x)－f(x)由（1）即可证得。且若则(3)4.
2、定积分中值定理(推广)证明:则至少存在一点若f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上连续且保号使得,(保号的保持在积分内)证:不妨设g(x)≥0,若g(x)≡0则命题显然成立,若g(x)≡0,则设f(x)在[a,b]上的最小(大)值为m(M).mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)在[a,b]上积分得,再由介值定理得…二、积分上限的函数及其导数三、牛顿–莱布尼兹公式一、引例§5.2微积分的基本公式第五章(微积分的基本公式)一、引例在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数则物体在时间间隔内经过的位移为这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.在这里s(t)
3、是v(t)的原函数，即二、积分上限的函数及其导数则变上限函数证:则有定理1.若(ξ介于x与x+h之间)说明:1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.所以证明三、牛顿–莱布尼兹公式(牛顿-莱布尼兹公式)证:根据定理1,故因此得记作定理2.函数,则例1.计算解:原式=例2.计算解:原式=例4.计算正弦曲线的面积.解:例3.计算解:
4、
5、例5.汽车以每小时36km的速度行驶,速停车,解:设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为刹车,问从开始刹到某处需要减设
6、汽车以等加速度车到停车走了多少距离?例6.求解:原式例7.确定常数a,b,c的值,使解:原式=c≠0,故又由～,得例8.证明在内为单调递增函数.证:只要证例9.设求在[０,２]的表达式.解:时,时,总之…内容小结则有1.微积分基本公式3.变限积分求导公式2.定积分中值定理的推广ξ∈(a,b)或ξ∈(b,a)(保号的保持在积分内)作业P2433;4;5(3);6(8),(11),9(2);11,12
