《微积分的基本公式》PPT课件

《《微积分的基本公式》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一、位置函数与速度函数之间的联系二、积分上限的函数及其导数三、牛顿莱布尼茨公式§5.2微积分基本公式设物体从某定点开始作直线运动,在t时刻物体所经过的路程为S(t),速度为vv(t)S(t)(v(t)0),则在时间间隔[T1,T2]内物体所经过的路程S可表示为一、位置函数与速度函数之间的联系上式表明,速度函数v(t)在区间[T1,T2]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[T1,T2]上的增量.这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？即二、积分上限的函数及其导数积分上限的函数

2、设函数f(x)在区间[a,b]上连续,x[a,b],我们称为积分上限的函数.定理1(积分上限函数的导数)在[ab]上可导并且>>>例1设f(x)在[0,)内连续且f(x)>0证明函数在(0)内为单调增加函数证明因为按假设当0tx时f(t)>0(xt)f(t)>0所以提示：例1设f(x)在[0,)内连续且f(x)>0证明函数在(0)内为单调增加函数证明因为按假设当0tx时f(t)>0(xt)f(t)>0所以从而F(x)>0(x>0)因此F(

3、x)在(0)内为单调增加函数解这是一个零比零型未定式由罗必达法则例2提示：定理的重要意义：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的,另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.定理2三、牛顿莱布尼茨公式若F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则定理3(牛顿莱布尼茨公式)证明因为F(x)和(x)都是f(x)的原函数所以存在常数C使F(x)(x)C.由F(a)(a)C及(a)0,得CF(a),F

4、(x)(x)F(a).由F(b)(b)F(a),得(b)F(b)F(a),即牛顿莱布尼茨公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.三、牛顿莱布尼茨公式若F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则定理3(牛顿莱布尼茨公式)解:解:例4计算.例3计算.例4设,求.解解这是求由曲线ysinx直线x0x及x轴所围成的曲边梯形的的面积解:例6计算正弦曲线ysinx在[0p]上与x轴所围成的平面图形的面积例5计算.例7汽车以

5、每小时36km速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a5m/s2刹车.问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离？t2(s).当汽车停止时,有v(t)v0at105t.刹车后t时刻汽车的速度为v(t)105t0,汽车刹车时的初速度为解提示：首先要计算从开始刹车到停车所需的时间T,然后计算速度v(t)在时间区间[0,T]上的定积分.例7汽车以每小时36km速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a5m/s2刹车.问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离？于是从开始刹车到停车

6、汽车所走过的距离为t2(s).当汽车停止时,有v(t)v0at105t.刹车后t时刻汽车的速度为v(t)105t0,汽车刹车时的初速度为解3.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数总结牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．