二重积分的几何应用

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1、卫星一、问题的提出§10.4.1二重积分的几何应用定积分可以求得平面曲线之弧长,与此相当,二重积分可求空间曲面之面积.设n是光滑曲面(如图)：1)方向余弦二、曲面面积的积分公式上过点处的法向量.若为锐角,则由立得（夹角余弦公式）：1.复习和预备2)面积投影定理在曲面上点处取切平面小块dA,以代替曲面上相应的面积微(称为面积元素)元dS,使其与dA在D上有共同投影d取切平面A与D之交线L为x轴,如故得xy下图(矩形).当为锐角时,由于2.曲面面积的定义与公式记是与有相同投影当充分小时,显然有:从而取则有:

2、定义将S任意分为不重叠的小曲面之和(如上),而将S任意分为:(不重叠)的面积记为的切平面小块,借用定积分基本思想：②若曲面方程为：则曲面面积为：①若曲面方程为：则曲面面积为：评注1)同理可得存在,则称其为曲面S的面积.记为：⑴解曲面在xoy面上投影为则出的面积A.3.公式应用上述公式的应用步骤如下：被柱面所截例1计算双曲抛物面1)由题设确定曲面方程及其投影区域D;2)给出D的合适表述,代入公式化为二次积分.解解解方程组得两曲面的交线为圆周在平面上的投影域为1.直角坐标下的曲面面积公式及应用2.参数方程下的

3、曲面面积公式及应用3.课堂练习书P130:习题2；三、小结与练习书P130:习题1；四、作业一、重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法解方程组求交点3.确定积分限的方法——累次积分法二重积分计算法习作与练习例1求下列积分解先y后x,直接求.解作图,取x-型为简.①②③解法一用直角坐标直接求；解法二用对称性及奇函数直接求；所围成.例2计算二重积分其中D为圆周所围闭区域.提示:利用

4、极坐标原式例3计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)利用对称性.围成.(2)积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得例5计算二重积分在第一象限部分.解:(1)两部分,则其中D为圆域把与D分成作辅助线(2)提示:两部分说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线将D分成例6如图所示交换下列二次积分的顺序:解