辽宁省大连市（鞍山一中，东北育才中学，辽宁省实验中学，大连市第八中学，大连市二十四中学，大连市四十八中学）2014年高一上学期名校联考数学试卷

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1、试卷答案命题学校：东北育才学校命题人：刘新风校对人：牟新一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、C2、B3、A4、B5、A6、D7、D8、C9、C10、D11、B12、A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13、14、415、16、三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17.（10分）设全集为，集合，．（1）求；（2）已知，若，求实数的取值范围．解（1）                ………………4分（2）①当，即时，，成立；②当，即时，得 .      

2、          综上所述，的取值范围为．  ………………10分 18.如图所示，射线分别与轴正半轴成和角，过点作直线分别交于两点，当的中点恰好落在直线上时，求直线的方程．解：由题意可得，，所以直线的方程为，直线的方程为.设A(m，m)，B(－n，n)，所以AB的中点C的坐标为，由点在直线上，且A、P、B三点共线得解得，…………8分 所以．又，所以所以直线AB的方程为，即.…………12分 19．如图，在正方体中，分别是棱的中点．(1)求证：(2)是否存在过两点且与平面平行的平面？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．（1)证明：在正方形ABB1A1中，E、F分别是棱A1B1、

3、AA1的中点，∴，∴∴，∴.在正方体中，…………5分(2)解：如图，在棱上取点，且，连接则存在平面，使平面…………7分 证明：取的中点，连接∵分别是的中点，∴四边形是平行四边形．同理可证………………12分20.因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一游泳池中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在游泳池中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放个单位的药剂,它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(天)变化的函数关系式近似为,其中若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于3(克/升)时,它才能起到有效

4、治污的作用.（Ⅰ）若一次投放3个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求的最小值.19、解：（Ⅰ）因为,所以………………………………2分则当时,由,解得,所以此时当时,由解得,所以此时…………………4分综上，得,若一次投放3个单位的制剂,则有效治污时间可达8天……6分（Ⅱ）当时,==,,则，而,所以,用定义证明出：故当且仅当时,有最小值为…………………………10分令,解得,所以的最小值为……………………………………………12分21．已知(1)若的切线在轴，轴上截距相等，求此切线的方程；(2

5、)从圆外一点向圆引切线为切点，为原点，若，求使取最小值时点坐标．解：圆心，半径(1)若切线过原点设为，则，∴若切线不过原点，设为则，∴，∴切线方程为：，…………6分(2)由得，∴，由几何意义知最小值为此时设：即，将其与联立求出此时…………………12分22．（本大题满分12分）对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①在内具有单调性；②存在区间，使在上的值域为；则称为闭函数.（Ⅰ）求闭函数符合条件②的区间；（Ⅱ）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（Ⅲ）若函数是闭函数，求实数的取值范围．解：（1）由题意，在上递减，则解得，所以，所求的区间为………………………………3分（2）不是函数不是闭

6、函数。取，则，即。取，则，，所以，函数在定义域内不是单调函数，从而该函数不是闭函数。．．．．7分（3）若是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上，函数的值域也为[]，即，为方程的两个实根，即方程有两个不等的实根。设当时，有，解得。当时，有，无解综上所述，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分以上答案及评分标准仅供参考，如用其它解法请酌情给分。