浙江省杭州市第二中学2015年高三上学期第一次月考理科数学试卷

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1、浙江省杭州市第二中学2015年高三上学期第一次月考理科数学试卷第I卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数的定义域为,值域为,则=A．B．C．D．2.为了得到函数的图象，只需将函数的图象A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位3.若“”是“”的充分而不必要条件,则实数的取值范围是A．B．C．D．4.设，满足约束条件且的最小值为7，则A.-5B.3C.-5或3D.5或-35.如图，P是正方体ABCD—A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△

2、PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是6.若关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围为A．B．C．(1,+∞)D．7.已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是A.B.C.D.8.已知为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是A．B．C．D．9.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数有如下四个命题：①；②函数是偶函数；③任取一个不为零的有理数T,对任意的恒成立；④存在三个点，使得为等边三角形.其中真命题的个数是

3、A．1B．2C．3D．410.如图为函数的部分图象，ABCD是矩形，A，B在图像上，将此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为A．B．C．D．第II卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11.设sin，则___________.12.已知是定义在上的奇函数，当时，.则函数的零点的集合为.13．点A在单位正方形的边上运动，与的交点为，则的最大值为.14.设数列是等差数列，前n项和为，是单调递增的等比数列，是与的等差中项，，，若当时，恒成立，则的最小值为.15.已知的三边长成等差数列，且则实数b的取值范围是.16.关于的不等式的解集为.17.设，，令

4、，若关于的方程有且仅有四个不等实根，则的取值范围为.三、解答题18．（本题满分14分）设函数直线与函数图像相邻两交点的距离为.（1）求的值；（2）若在上的最大值为，最小值为1，求的值.19．（本小题满分15分）设函数,.（1）若方程在上有根,求的取值范围；（2）设，若对任意的，都有，求的取值范围.20．（本小题满分14分）如图，已知平面，平面，为等边三角形，，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.21．（本小题满分14分）椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A、B两点.当m＝0时，.(1)求C的方程；

5、(2)证明：为定值.22．（本小题满分15分）已知函数，，（1）若，试判断并用定义证明函数的单调性；（2）当时，求函数的最大值的表达式；（3）是否存在实数，使得有且仅有3个不等实根，且它们成等差数列，若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.数学试卷（理科答案）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号（1）（2）（3）（4）（5）答案BDABA题号（6）（7）（8）（9）（10）答案ADBCA二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．（11）（12）________（13）1（14）4___（15）（1

6、6）（17）17.解：关于对称，且在上为定值，故方程等价于或或对于，解得，若解集是一个区间，则不符题意；若解集为离散的点，则满足，且，这含在前两种情况中.于是只需令，各有两根，且交集为空.，，又为空集，得到，从而.当，的根相等时，得到.三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18.（本题满分14分）解：(1)由题意，，故.(2)当，，于是当时，，得到；当时，，得到；所以.19.（本小题满分15分）解(1)等价于，故.(2)首先在上恒成立，即，故；其次，，，，于是，于是20．（本小题满分14分）解法一：（1）设CE中点为M，连BM，MF则,由

7、可知∵平面∴即∴,又∵,∴平面平面（2）过M作MD⊥EF于P，∵∴BD⊥EF即是二面角的平面角的补角∵,∴.即二面角的余弦值为.解法二：设，建立如图所示的坐标系，则.∵为的中点，∴. (1)证明:∵，∴，∴.∴平面，又平面，∴平面平面. (2)解:设平面的法向量，由，可得：同理可求得平面的法向量,二面角的余弦值为.21．（本小题满分14分）解：（1）因为离心率为，所以，当m=0时，的方程为，代入中，整理得到，设，则，于是，所以，.椭圆方程为.（2）设，的方程为，代入并整理得到..则，同理则,