论文--梁中弹性波的能流强度分析

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1、梁中弹性波的能流强度分析摘要：基于欧拉梁的振动方程，通过选择合适的状态变量，并对其进行拉氏变换，建立了振动状态空间方程；然后进行相似变换，建立了新的状态空间方程；然后对其进行求解，其解的形式表明该状态空间方程是波动方程；最后通过对梁中微元的能量分析，并基于波动方程建立了关于弹性波振幅的能流强度的度量公式。关键词：欧拉梁，弹性波，能流强度1引言当机械结构某一处受到横向力的干扰后，该点就会偏离平衡位置，并具有了势能和动能。由于结构的材料是弹性介质，该类介质使扰动能量不断地在结构中传播，这一过程称之为弹性波的传播。当弹性波到达

2、结构的约束边界时就会被反射而在结构中来回地传播叠加，因此形成了驻波，表现为振动。所以结构的振动与波均是对结构线性弹性运动的描述。所以弹性波的能量传播强度与振动能量密度之间必然有一定的联系。弹性波的能量传播强度可用能流强度描述，所谓能流强度是指单位时间内，通过结构截面的能量。振动强度可用振动能量密度描述。所以可通过分析振动能量密度获得弹性波的能量传播强度。因为波吸收现象在声波、电磁波等物质波中已被人们广泛认同，弹性波也是物质波，同样也会发生波吸收现象，因此可以制造波吸收现象以减少波传播的能量，也就是抑制结构的振动。因此研究

3、结构中弹性波的能流强度可以为结构振动控制器的设计提供理论依据。本文以欧拉梁为研究对象，从欧拉梁的振动方程出发，选择合适的状态变量，并对其进行拉氏变换，建立了振动状态空间方程；然后通过相似变换，推导出状态空间形式的波动方程；最后通过对梁中微元的能量分析，并基于波动方程建立了关于弹性波振幅的能流强度的度量公式。2梁的横向弹性运动的波式描述任选一均匀介质梁，并在梁上建立右手坐标系o-xyz，如图1所示，梁的一端横截面的几何中心为坐标系的原点o，梁中性层的纵向对称线为x轴，y轴垂直于中性层。xzoxyo图1梁的坐标系o-xyz示

4、意图在欧拉梁的假设条件下，根据达朗贝尔原理可得梁的自由振动方程：（1）其中，：梁的材料弹性模量；：梁的材料体密度；：梁的横截面关于z轴的惯性矩；：梁的横截面面积；：处时刻的挠度。为了便于标识变量，现对变量的符号记法进行说明。对于一时域变量，表示经拉氏变换后的变量，表示经傅氏变换后的变量。若选取梁振动状态空间变量：5（2）其中，；：处梁的弯矩的拉氏变换形式；：处梁的剪力的拉氏变换形式。由式（1）可得拉普拉斯形式的梁振动状态空间方程为：（3）将（3）式中的状态矩阵记为。通过对矩阵进行相似变换和变换矩阵的首项归一得到其约旦标准

5、形和变换矩阵，其关系式为：（4）其中：（5）其中“”表示*向量的对角阵。把（4）式代入（3）式并在方程两边同时左乘可得：（6）其中：（7）将记为。把代入（6）式可得：（8）那么：（9）式（9）与一维波动方程的形式相同，所以解的形式也相同。由此得：，，和是沿x轴负方向以的速度传播的波，和是沿x轴正方向以的速度传播的波[3]。和均是驻波也是近场波，沿x轴负向递减，沿x轴正向递减[1,4]。因此式（6）是梁的波式状态空间模型。由于该模型的状态矩阵的各元素是的复数系数函数，这就可能使得设计的波吸收器也是的复数系数函数，导致在物理

6、上不易实现，但可通过对波吸收器拟合的方法来解决[4]；另外一种方法是对进行相似变换以得到的实约旦标准形[3]，变换矩阵记为，满足：（10）其中：5（11）（12）把（12）式代入（6）式，并在等式两边同时左乘可得：（13）其中：（14）将记为。由（14）式和（7）式可知：（15）记：（16）由（14）式和（12）式可知和是由和线性叠加得到的，所以和是沿x轴负向传播的波的拉氏变换式，同理可知和是沿x轴正向传播的波的拉氏变换式，所以（13）式是梁自由振动时的波式状态空间模型。1弹性波的能流强度与振动能量体密度之间的关系在介质

7、中传播的弹性波会通过对介质做功而转变为介质的弹性势能和动能并不断的传播下去。对梁的横向振动而言，梁中的行波会对梁做功使梁具有了弹性势能和动能，因此在梁的任意位置取一小单元体，它将具有动能和势能。小单元体的弹性势能的体能量密度为（欧拉梁）：（17）小单元体的弹性势能线能量密度为：（18）由式（16）和式（15）可得：（19）因为为简化波吸收器设计，假设波吸收器只是使得输入波的能量被“吸收”，不考虑经固定端反射和驱动器激励的输出波对输入波的影响，所以假设梁中只存在沿x轴负方向传播的输入波，那么式（19）将简化为：（20）5对

8、式（20）进行拉普拉斯反变换可得：（21）把式（21）代入（18）可得势能线密度为：（22）梁中的动能线密度为：（23）由式（13）可得：（24）把式（24）代入式（23）可得：（25）由式（24）可知和的振幅同倍增长。当的振幅变为原来的n倍后，梁中的势能的线能量密度和动能线能量密度为：（26）（27）由式（24）和