专转本第六讲多元函数微积分

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1、前言这部分知识在一元函数微积分的基础上扩充到多元函数微积分，说是多元，实际上也只是针对二元函数进行研究。有了前面的基础，这部分内容是可以自学的，但还是有些难度的。不过我们从历年的试卷中不难发现，试题的形式和难度还是比较固定的，一般来说会出现三种题型：一是考查对多元函数求偏导；二是考查考查对抽象复合函数求偏导；三是考查二重积分的计算。这三种题型归根结底还是对一元函数求导或求积分，因此，同学们在学习这部分知识的时候更多地要注重解题和实际应用，对于一些概念和定理的理解可以暂时地回避，也就是说，首先要记住一些结论和公式，找到解

2、题的规律！§1多元函数微分学一、多元函数的概念人们在实践中，还会遇到许多依赖与两个或两个以上自变量的函数，称这种函数为多元函数。圆柱体的体积定量理想气体的压强例如：1.二元函数的定义空间解析几何、级数及微分方程2.二元函数的定义域一元函数的定义域是数轴上的区间，对于二元函数，它的定义域是平面上的点集，我们把它叫做区域，一般来说，区域就是平面上一条或几条光滑曲线所围成平面图形.围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界在内的区域称为开区域．开区域闭区域二元函数定义域的求法

3、与一元函数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围.例1求函数的定义域解：该函数定义域应满足即所以定义域为O222ayx=+yxaa如图，这样的区域俗称圆域11-1-111-1-1如图，这样的区域俗称矩形域例2求函数的定义域解：该函数定义域应满足即所以定义域为如图，这样的区域俗称环域3.二元函数的图像由空间解析几何知识可知，对于二元函数的图形，一般地，它表示一曲面.11-114.二元函数的极限与连续性极限注：二元函数极限的计算不同与一元函数极限的计算，考试一般不单独出题，即使出现，也只有两种题型，一种是“直接带入”，一种

4、是变量代换。例3求极限直接代入得解：令，则原极限变成例4求极限解：这里就不能直接带入否则会产生不定式连续性注：类似的，我们也可以定义二元函数间断点的概念二、偏导数与全微分1.偏导数的定义注：符号“”的读法有很多种，因为它像一个圆，有时候读作“round”，音译过来就是“若母达”；又因为偏导数的英文是“partialderivative”，所以又读作“帕修”；我们这里可以简单地读作“偏”，比如“偏x”、“偏y”。2.偏导数的求法注：偏导数的符号是一个整体，与导数有所区别，不是商！解：例1求在点处的偏导数把看作常量，得把看

5、作常量，得代入得注：①一个二元函数的偏导数如果不特别说明是关于哪个变量的偏导数，应该有两个；如果是三元函数，同样可以把前面偏导数的定义加以推广，如函数，它有三个偏导数，分别是：②通过上题，我们还可以发现这样一个规律，就是如果一个函数中的自变量是对称的（即调换它们的位置原函数不发生改变），那么相对于各个变量的偏导数也具有对称性。这样一来，我们只需要求出其中的一个变量的偏导数，另一个变量的偏导数只需要把上一个变量的偏导数中的变量互换位置即可。例如：就不是对称的解：例2设，求证：把看作常量，得由对称性可知因此原命题成立3.高

6、阶偏导数混合偏导数解：例3设，求它的四个二阶偏导数注：在后面的抽象复合函数求偏导的问题中，我们会利用到这个结论，前提是“连续”，一般题目中会直接给出。4.全微分回顾一元函数的微分：对于二元函数也有类似“微分”的概念，只是叫法有所不同称为函数在点处的全微分若则称可微若则称可微在一元函数中，可导与可微是等价的，并且有：可导（可微）一定连续，连续不一定可导（可微）在二元函数中，没有“可导”的概念，但是有偏导数的概念，下面我们给出在二元函数中偏导数，可微，连续之间的关系：可微连续偏导数存在偏导数存在且连续可微注：由上面的关系可

7、以看出，在二元函数中，偏导数和可微并不是等价的，而且偏导数存在也推不出连续，这些都与一元函数不同。偏导数存在可微连续例4设，则解：例5设，求解：这里我们利用“直接取自然对法”（也可以两边取）先变形三、多元函数的求导法则1.多元复合函数的求导法则基本公式设则例如：令即则公式的推广（联线相乘，分线相加）前面的基本公式以及例题中的函数，用树状图表示就是：注：上述这些公式不管是简单还是复杂，都是可以通过第一个基本公式的思想推出来，然而在实际解题过程中，我们遇的多元函数一般来说都是给出了具体的解析式的，即使不找出其中的之类的所谓

8、“中间函数”，我们仍旧可以按照普通求偏导数的方法来求解。在这里，我们只要做到对“联线相乘，分线相加”的思想理解即可，主要还是记住基本公式，而在考试中，重点考查的是抽象复合函数求偏导数的问题。2.多元抽象复合函数的偏导数我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中一般给出一些有关函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性、连续或可导