江苏专转本高等数学 多元函数微积分 例题加练习

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1、第八章多元函数微积分第八章多元函数微积分本章主要知识点l一阶偏导数计算l可微与全微分l二阶偏导数l二重积分—直角坐标系l二重积分—极坐标系一、一阶偏导数计算多元函数一阶偏导数计算主要有下面问题：（1）显式函数一阶偏导。（2）复合函数一阶偏导。（3）隐函数一阶偏导数。1．显函数的一阶偏导数例8.1．，求。解：例8.2．，求。解：，，，例8.3．＋，求。-217-第八章多元函数微积分解：，。2．复合函数的求偏导我们用具体的例子来说明复合函数的求偏导的解题步骤。例如，其中为已知可微三元函数，求。第一步：变量的关系网络图其中1，2，3分别表示第二

2、步：寻找与对应的路径，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”同理，寻找与对应的路径，。例8.4．，求。解：例8.5．求。-217-第八章多元函数微积分解：。3．隐函数一阶偏导由方程决定隐函数。求偏导公式为：，例8.6．由方程决定，求。解：.例8.7．，求。解：-217-第八章多元函数微积分。二、全微分，全微分，全微分例8.8．，求。解：例8.9．，求。解:　　例8.10．，求。解：-217-第八章多元函数微积分三、二阶偏导数例如，有四个偏导数。分别定义为，，，在连续条件下。例8.11．已知求的所有二阶偏导数．解：-217-第八章多元函

3、数微积分例8.12．求。解：例8.13．已知由方程决定，求。解：方程两边对求偏导得：即，　（）两边对求偏导得：（）两边对求偏导得：-217-第八章多元函数微积分。例8.14．，其中为已知三元函数，求。解：＋。四、偏导数应用1.曲面的切平面及法线方程（1）在的法向量（2）曲面方程为F(x,y,z)=0，在的法向量2.多元函数极值求解流程：（1）驻点，（2）计算；则当时，无极值；当时，A>0取极小，A<0取极大。例8.15．求曲面在点P(2,1,0)处的切平面和法线方程。解：令，则P点法向量切平面为：法线方程为：。-217-第八章多元函数微积

4、分例8.16．求函数的极值。解：由解得驻点,点取极小值，五、累次积分累次积分例8.17．计算解：原式例8.18．解：原式。-217-第八章多元函数微积分六、直角坐标下的二重积分型区域图示8.1型区域图示8.2上述型，型区域的定限方法非常重要，将直角坐标下二重积分转换为累次积分，更复杂的区域可以看成（拆分）为若干型，型区域组合而成。图示8.31例8.19．由在第一象限所围的区域，计算解：-217-第八章多元函数微积分例8.20．由曲线轴所围的区域，计算解：图示8.4例8.21．由曲线在（1，1）点处切线，本身，轴所围的区域，计算解：，切线方

5、程：即图示8.5-217-第八章多元函数微积分例8.22．为从，连线PQ，正方形，去除右上角剩余部分，计算。解：设正方形，为，右上角部分，则图示8.6原式=改变累次积分的积分顺序，是考查考生对二重积分定理是否掌握及掌握如何的一个重要填空题型。具体分析的思路应是：原累次积分二重积分新累次积分例8.23．变换下列二重积分的次序。-217-第八章多元函数微积分解：图示8.7原累次积分例8.24．改变下列累次积分的次序1)．，2)．　（）3)．，4)．11解：1)．图示8.8原式2)．图示8.9原式-217-第八章多元函数微积分3)．图示8.10

6、1原式4)．图示8.11原式七、极坐标系下的二重积分　　　　　　　图示8.12例8.25．为计算-217-第八章多元函数微积分解：　原式图示8.13例8.26．为且，计算解：原式图示8.14　　　例8.27．且，计算解：原式=图示8.15　　　　例8.28．为圆周与轴在第一象限所围部分，求。-217-第八章多元函数微积分解：将圆周化为极坐标方程　原式＝图示8.16。八、二重积分应用　1.物体质量物体质量M，其中为面密度函数。例8.29．物体形状为，面密度与点到原点的距离一致，求物体的质量。解：，M＝2.曲顶柱体体积，其中为柱体在xoy面上

7、的投影域，为曲面方程。3.曲面面积，为曲面方程，为曲面在xoy面上的投影域。例8.30．旋转抛物面与所围立体的体积。-217-第八章多元函数微积分解：交线为：，立体在xoy面投影为＝。例8.31．求旋转抛物面被圆柱面所截的位于第一卦限的曲面面积。解：积分域D:=单元练习题81．,则。2．，则。3．，为已知可微函数，则。4．。5．改变积分次序，则。6．改变积分的次序，则。7．，求。8．，求所有二阶偏导数。-217-第八章多元函数微积分9．，求。10．，求。11．，其中二阶可微，求。12．设方程，确定，求。13．，其中是由直线及曲线所围成的平

8、面区域。14．。15．。16．。17．。18．，其中是所围区域的第一象限部分。历年真考题1．(2001)交换积分次序后。2．(2001)函数的全微分。3．(2001)计算二重积分，其中是由直线