《微积分下》复习大纲设计

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1、实用文档八、多元函数微分法及其应用●多元函数的基本概念教学目标：掌握多元函数的概念，掌握二元函数的几何表示、极限、连续的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质.重点：多元函数的极限、多元函数的连续性难点：多元函数的连续性教学活动：一多元函数的概念1、平面点集（邻域、聚点、区域），n维空间2、二元函数的概念（定义、图形）3、例题例1求函数的定义域例2求的定义域．例3设试确定f及z.例4设二多元函数的极限1、定义注：二元函数极限与一元函数极限的区别和联系（1）二元函数的极限也叫二重极限（2）函数在点的极限存在与该函数在此点是否有

2、定义没有关系。（3）定义中的方式是任意的；（4）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（5）二重极限与累次极限不同.如果它们都存在,则三者相等.仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.2、例题例5求证例6求极限二元函数求极限的方法：文案大全实用文档总的原则是化为一元函数的极限。常用的有：定义、代换成一元函数、夹逼准则、重要极限、应用连续性等。例7求下列极限3、确定极限不存在的方法：（1）令沿趋向于，若极限值与有关，则可断言极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，使存在，但两者不相等，此时也可断言在点处极限不存在．例8证明下列极

3、限不存在三多元函数的连续性1、定义（连续、间断点）2、例题例9讨论函数在(0,0)处的连续性．例10讨论函数在(0,0)的连续性．注：注意以上两例的讨论方法3、性质（1）最大最小值定理（2）介值定理（3）一致连续性定理四小结文案大全实用文档1、多元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）2、多元函数连续的概念3、闭区域上连续函数的性质●偏导数教学目标：1、理解多元函数偏导数的概念，掌握偏导数和高阶偏导数的求法.2、了解偏导数存在与连续的关系以及的几何意义，了解混合偏导数与求导次序无关的充分条件.重点：偏导数的概念难点：偏导数

4、计算教学活动：一偏导数的定义及其计算法1、定义注意:2、例题例1求在点(1,2)处的偏导数．例2设求证：例3设求例4已知理想气体的状态方程（为常数），求证：.3、有关偏导数的几点说明：（1）偏导数是一个整体记号，不能拆分;（2）求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；文案大全实用文档（1）偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导则该点连续，而多元函数中在某点偏导数存在，则未必在该点连续，（4）偏导数的几何意义：偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.

5、例6曲线,在点(2,4,5)处的切线与正向轴所成的倾角是多少?二高阶偏导数1、例题例7设，求例8设，求二阶偏导数.2、问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？3、定理如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．三小结1、偏导数的定义（偏增量比的极限）2、偏导数的计算、偏导数的几何意义3、高阶偏导数（混合偏导相等的条件）四思考题若函数在点连续，能否断定在点的偏导数必定存在？●全微分教学目标：文案大全实用文档1、理解多元函数全微分的概念，掌握全微分的求法.2、理

6、解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分在近似计算中的应用.重点：全微分的概念难点：可微的条件教学活动：一全微分的定义1、全增量的概念2、全微分的定义二可微的条件1、定理1（必要条件）说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在.2、定理２（充分条件）3、例题例1计算函数在点(2,1)处的全微分.例2求函数，当时的全微分.例3计算函数的全微分.例4试证函数在点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)不连续，而f在点(0,0)可微.注：可微与连续的关系：如果函数在点可微分,则函数在该点连续.即可微一定连续，

7、但反之未必成立。4、全微分在近似计算中的应用例5三小结1、多元函数全微分的概念；2、多元函数全微分的求法；3、多元函数连续、可导、可微的关系．（与一元函数有很大区别）文案大全实用文档●多元复合函数的求导法则教学目标：掌握各种情况下的多元复合函数偏导数的求法.重点难点：复合函数偏导数教学活动：一链式法则1、定理1（中间变量均为一元函数）注：若定理中偏导数连续减弱为偏导数存在,则定理结论不一定成立.2、定理2（中间变量均为多元函数）3、例题例1设，而，，求和.例2设，而，，求全导数.例3设求例4设，f具有二阶连续偏导数，求和.

8、例5设的所有二阶偏导连续，把下列表达式转换为极坐标系中的形式二全微分形式不变性全微分形式不变形的实质：无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.例；利用全微分形式不变性再解例1.三小结1、链式法则（分三种情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）2、全微分形式不变性（理解其实质）四思考题：