泰勒公式的证明

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1、泰勒公式定理（peano余项型，洛必达法则法证明）若存在,则，..叫做在的次泰勒多项式，也叫在的次密切（“切线”）.证法洛必达法则法的分析.按照洛必达法则往证即可.记，，注意到，，存在，意味着在内还可导.允许反复使用洛必达法则次.证明连续次使用洛必达法则，得不断添入0，使结论成为两个函数值之差的比..注1即使函数能表成，不一定是泰勒多项式.如，由，故.虽然能写成，但是，根据海因定理，，仅在0点仅1阶可导（0的邻域内无定义）.故并不是在0处的泰勒多项式.注2若能表成，则多项式是唯一的（不论可导性）.因为若（1）则由（1），反代入（1）式又得，反代入（1）式又得……由于极限唯一性，

2、所以，是唯一的.该结论叫做唯一性引理.它说明，peano余项型泰勒公式中，只能由来逼近（近似），或者说，在定理的条件下，来逼近（近似）是最佳的逼近（近似）.定理（Taylor中值定理，Lagrange余项型，柯西中值定理法证明）若函数满足ⅰ在上连续;ⅱ在内可导.则使.有的教材把改为，定理为：设函数在存在导数，则，.注从证明可见，对运用柯西中值定理时，对在处的可导性没有要求.证法分析（华东师大本）若能整理成两个函数差的比，可以试用柯西中值定理.显然时结论为0=0，讨论无意义.当时，不妨设.结论相当于.把改为，令，结论相当于，注意到，，结论即是.由柯西中值定理，代入导数，证毕.（倘

3、若不把改成，而是令，，虽恰有，，把化成，但用柯西中值定理得不出所要结论）更一般形式的Taylor中值定理定理（Lagrange余项型）若ⅰ函数在存在阶导数;ⅱ,在或上连续，在或内可导，且.则或，使.特别地，取，可得Lagrange余项型的泰勒公式.更特别地，取，，则叫柯西余项.相应的泰勒定理叫做带柯西余项型余项的泰勒公式.证明当时，不妨设.结论相当于.把改为，令，结论相当于.注意到，结论相当于.由柯西中值定理，代入导数，证毕.特别地，取，可得Lagrange余项型的泰勒公式.更特别地，取，，相应的余项就是柯西余项.