泰勒公式证明必须看

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1、泰勒公式（提高班）授课题目：§3.3泰勒公式教学目的与要求：1.掌握函数在指定点的泰勒公式；2.了解泰勒公式在求极限及证明命题中的应用.教学重点与难点：重点：几个常用函数的泰勒公式难点：泰勒公式的证明讲授内容：对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达．由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数。在微分的应用中已经知道，当很小时，有如下的近似等式：，．这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子．

2、显然．在处这些—次多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值．但是这种近似表达式还存在着不足之处：首先是精确度不高，它所产生的误差仅是关于的高阶无穷小；其次是用它来作近似计算时，不能具体估算出误差大小．因此，对于精确度要求较高且需要估计误差的时候，就必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式．于是提出如下的问题：设函数在含有的开区间内具有直到()阶导数，试找出一个关于()的次多项式(1)来近似表达，要求与之差是比高阶的无穷小，并给出误差的具体表达式．下面我们来讨论这个问题．假

3、设在处的函数值及它的直到阶导数在处的值依次与，，相等，即满足，，8，，按这些等式来确定多项式(1)的系数.为此，对（1）式求各阶导数，然后分别代人以上等式，得，，，，即得，，，.(2)将求得的系数代入（1）式，有.下面的定理表明，多项式(2)的确是所要找的次多项式．定理1（泰勒(Taylor)中值定理）如果函数在含有的某个开区间()内具有直到()阶的导数，则当任一，有,（3）其中，（4）这里是与之间的某个值．证明．只需证明(在与之间)．由假设可知，在()内具有直到()阶导数，且8对两个函数及在以及为端点

4、的区间上应用柯西中值定理(显然，这两个函数满足柯西中值定理的条件)，得(在与之间)，再对两个函数与在以及为端点的区间上应用柯西中值定理，得(在与之间)．照此方法继续做下去，经过()次后．得(在与之间，因而也在与之间)．注意到（因），则由上式得（在与之间），定理证毕．多项式(2)称为函数按()的幂展开的次近似多项式，公式(3)称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式．而的表达式(4)称为拉格朗日型余项．当时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式：(在与之间)．因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广．出泰

5、勒中值定理可知，以多项式近似表达函数时，其误差为．如果对于某个固定的，当时，，则有估计式：8（5）及由此可见，当时误差是比高阶的无穷小，即．这样，我们提出的问题完满地得到解决.在不需要余项的精确表达式时，阶泰勒公式也可写成(7)的表达式（6）称为佩亚诺（Peano）型余项，公式（7）称为按的幂展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式.在泰勒公式(3)中，，如果取，则在0与之间．因此可令，从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓麦克劳林(Maclauri)公式()（8）在泰勒公式（7）中，如果取，则有带有佩亚诺型余

6、项的麦克劳林公式（9）由（8）或（9）可得近似公式：，误差估计式（5）相应地变成8（10）例1写出函数的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式．解因为，所以把这些值代入公式(8)，并注意到便得+()．由这个公式可知，若把用它的次近似多项式表达为，这时所产生的误差为（）.如果取，则得无理数e的近似式为，其误差当时，可算出，其误差不超过．例2求的带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式．解因为，，，，，所以等等．它们顺序循环地取四个数0，1，0，一1，于是按公式(8)得(令)8，其中（）.如果取m＝1，则得近似公式

7、这时误差为（）如果分别取2和3，则可得的3次和5次近似多项式和，其误差的绝对值依次不超过和．以上三个近似多项式及正弦函数的图形都画在图1中，以便于比较．图1类似地，还可以得到，其中（）；，其中（）；8，其中（）由以上带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式，易知相应的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式。除了洛必达法则之外，泰勒公式也是极限计算的重要方法。例3利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限解由于分式的分母~，只需将分子中和分别用带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式表示，即，于是，对上式作运算时，把两个比高阶

8、的无穷小的代数和记为，故注本例解法就是用泰勒公式求极限的方法，这种方法的关键是确定展开的函数(如本例中的和)及展开的阶数(如本例中的3阶)。补充例题设且.证明：.证明而在点处的一阶泰勒公式为即，又由于，故.小结与提问：小结：泰勒公式提供了“判定函数极值的第二充分条件”的分析依据；提供了“利用二阶导数符号来判定函数曲线凹向”8的分析依据；提供了近似计算的理论基础。提问：1.泰勒定理的余项有哪些形式?若是在点的阶泰勒公式的余项，问下列等式是否成