五年级奥数讲义-第13讲(盈亏问题与比较法一)

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1、五年级奥数讲义第13讲盈亏问题与比较法（一）姓名等级定义：把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏。也就是说：已知两个分配方案，一次分配有余，一次分配不足，求参加分配的人数及被分配的总量。这样的问题通常叫做盈亏问题。　　典型的盈亏问题一般以下列的形式表述：　　把若干个苹果(未知数)分给若干个人(未知数)，如果每人分2个还多20个，如果每人分3个则少5个。问总共有多少人？有多少个苹果？　　题目中的不变量是人数和苹果数，比较两种不同的分配

2、方法，可知苹果相差：　　20+5=25(个)；相差25个苹果，亳无疑问是由于每人相差苹果3-2=1(个)而做成的，　　事实上，只有唯一一种情况才会导至上述情形，那就是有25人分苹果！　　求得人数后，进而可以根据题意，用两种方法求得苹果的数目：　　2×25+20=70(个)或3×25－5=70(个)。解盈亏问题的公式　　【一盈一亏的解法】　　(盈数+亏数)÷两次每人分配数的差=分配人数　　【双盈的解法】　　(大盈-小盈)÷两次每人分配数的差=分配人数　　【双亏的解法】　　(大亏-小亏)÷两次每人分配数的差

3、=分配人数学法指导　　由解盈亏问题的公式可以看出，求解此类问题的关键是小心确定两次分配数量的差和盈亏的总额，如果两次分配是一次是有余，另一次是不足时，则依上面的公式先求得人数(不是物数)，再求出物数；如果两次分配都是有余，则公式变成盈额差除以两次分配数之差；如果两次分配都是不足时，则公式变成亏额差除以两次分配数之差，如果……　　有时候，必须转化题目中条件，才能从复杂的数量关系中寻找解答；有时候，直接从“包含”入手比较困难，可以间接从其反面“不包含”去想就会比较容易。　　例1小朋友分糖果，若每人分4粒则多

4、9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖？　　分析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5－4＝1（粒）。每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为15÷1＝15（人），糖果的粒数为　　4×15＋9＝69（粒）。解：（9＋6）÷（5-4）＝1

5、5（人），　　4×15＋9＝69（粒）。　　答：有15个小朋友，分69粒糖。例2小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖果？　　分析：本题与例1基本相同，例1中两次分配数之差是5-4=1（粒），本题中两次分配数之差是5-3＝2（粒）。例1中，两种分配方案的盈数与亏数之和为9＋6＝15（粒），本题中，两种分配方案的盈数与亏数之和为2＋6=8（粒）。仿照例1的解法即可。8五年级奥数讲义第13讲盈亏问题与比较法（一）姓名等级解：（6＋2）÷（4——2）＝4（人），

6、　　3×4＋2＝14（粒）。　　答：有4个小朋友，14粒糖果。　　由例1、例2看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。　　需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。例3小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；

7、若每人分16粒，则有3个小朋友分不到糖果。问：有多少粒糖果？分析与解：第一种方案是不盈不亏，第二种方案是亏16×3＝48（粒），所以盈亏总额是0＋48=48（粒），而两次分配数之差是16——10＝6（粒）。由盈亏问题的公式得　　有小朋友（0＋16×3）÷（16——10）＝8（人），　　有糖10×8＝80（粒）。　　下面的几道例题是购物中的盈亏问题。例4一批小朋友去买东西，若每人出10元则多8元；若每人出7元则少4元。问：有多少个小朋友？东西的价格是多少？分析与解：两种购物方案的盈亏总额是8＋4＝12（元

8、），两次分配数之差是10——7＝3（元）。由公式得到　　小朋友的人数（8＋4）÷（10——7）＝4（人），　　东西的价格是10×4——8＝32（元）。例5顾老师到新华书店去买书，若买5本则多3元；若买7本则少1.8元。这本书的单价是多少？顾老师共带了多少元钱？分析与解：买5本多3元，买7本少1.8元。盈亏总额为3＋1.8=4.8（元），这4.8元刚好可以买7－5＝2（本）书，因此每本书4.8÷2=2.4（元），顾老师共带钱　　2.4×5＋3