2015年马鞍山红星中学科学创新实验班选拔考试(数学)

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1、2015年马鞍山市红星中学科学实验班选拔考试数学【注意事项】1.本试卷共4页，总分150分，答题时长150分钟，请掌握好时间。2.请将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔填写在答题卷的相应位置上。3.考生务必在答题卷上答题，在试卷上作答无效。考试结束后，请将试卷和答题卷一并交回。一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、一组数据：3，4，5，x，8，12的众数是4，则这组数据的平均数是（　　）　A．4B.5C.6D．72、给定下列命题：①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于该弦，并且平

2、分该弦所对的两条弧；③对角线相等的四边形是矩形；④如果顺次连接梯形四条边中点所得的图形是菱形，那么这个梯形是等腰梯形。其中真命题的个数是（）.A．0个B.1个C.2个D.3个3、如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为()．A．（4，3）B（5，3）C.(6,2)D.(6,3)4、当－2x2时，二次函数y＝ax2＋2ax＋1的最大值为４，则a的值为（）A．－3或B．－C．1D．－35、方程(x2+x-1)x+3=1的所有整数解的和是（）（第3题）A．－5B.4C.－3D.26、相邻两边不等的长方形ABC

3、D，中心为O,在由A，B，C，D，O五个点中取三个点构成的所有三角形中，任取两个三角形，面积相等的概率为（　）　　A．　　B．　　C．　　D．科学-67、若，则一次函数的图象必定经过的象限是（）A.第一、二象限B.第一、二、三象限C.第二、三、四象D.第三、四象限8、如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME,当AB=1时，△AME的面积记为S；当AB=2时，△AME的面积记为S；当AB=3时，△AM

4、E的面积记为S；…当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，S－S=()A.B.C.nD.9、如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上,点D在BC边上，且ED=CE,若△ABC的边长AB=4，AE=2，则BD的长为（）A．2B．3C．D．+110、二次函数的图象如图所示，是图象上的一点，且，则的值为（　）A.B.C.－1D.－2（第8题）（第9题）（第10题）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）科学-611、在△ABC中，AB=5，中线AD=7，则AC边的取值范围是1

5、2、实数a,b,c满足,则a+b+c=13、如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是______14、任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1，现对72进行如下操作：72[]=8[]=2[]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似同样方法操作：只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的数是    _（第13题）15、如图，直线y=－x+b与双曲线（x＞0）交于A、B

6、两点，与x轴、y轴分别交于E、F两点，连接OA、OB，若S△AOB=S△OBF+S△OAE，则b=______三、解答题（本大题共6小题，共75分）16、（本题满分10分）化简和解方程:（第15题）(1)（本小题满分5分）化简：(2)（本小题满分5分）解方程17、（本题满分12分）已知反比例函数y=，现有透明的矩形纸片ABCD，BC=2AB，把这矩形纸片放置在x轴上方并沿x轴向右平移。科学-6（1）如图1，当矩形的右上顶点D在函数y=的图象上时，求阴影部分的面积；（2）如图2，若函数y=的图象同时

7、经过矩形的左顶点A和中心E，求矩形的边长。18、（本题满分12分）已知,是一元二次方程的两个实数根。（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由;（2）求使的值为整数的实数的整数值。19．（本题满分14分）如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，且AB=AC=4．P为AB上一点，过P作PE⊥AB分别交BC、OA于E、F。（1）设AP=1，求△OEF的面积；（2）设AP=a（0＜a＜2），△APF、△OEF的面积分别记为S1、S2．①若S1=S2，求a的值；②若S=S1+S2，是否

8、存在一个实数a，使S＜？若存在，求出一个a的值；若不存在，说明理由。科学-620．（本题满分14分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB。（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此