集合知识点及经典例题

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1、集合知识点及经典例题一、知识点整理㈠集合有关概念1、集合与元素的关系元素与集合的关系：属于“”；不属于∉2、集合中元素的三个特性：⑴元素的确定性如：世界上最高的山⑵元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}例题：①设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，若，，则P+Q中元素的有________个。（答：8）非空集合，且满足“若，则”，这样的共有__个（答：7）⑶元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3、集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}⑴用英文字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,

2、2,3,4,5}⑵集合的表示方法：列举法与描述法。1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xÎR

3、x-3>2},{x

4、x-3>2}例题：—函数的定义域；—函数的值域；—函数图象上的点集，例题：设集合，集合N＝，则___（答：）；⑶语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}⑷Venn图:⑸常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R复数C4、集合的分类：⑴有限集含有有限个元素的集合⑵无限集含有无限个元素的集合⑶空集不含任何元素的集合　　例：{x

5、x2=－5｝5、集合间的基

6、本关系⑴“包含”关系—子集：数学表达式：若对任意，则注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA“真包含”关系—真子集：且3⑵“相等”关系：如果集合A与B的元素都相等，则称A=B证明方法：若且，则A=B实例：设A={x

7、x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”性质：①任何一个集合是它本身的子集。AÍA②真子集:如果AÍB,且A¹B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)③如果AÍB,BÍC,那么AÍC④如果AÍB同时BÍA那么A=B名称记号意义性质示意图子集（或A中的任一元素都属

8、于B(1)AA(2)(3)若且，则(4)若且，则或真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不属于A（1）（A为非空子集）(2)若且，则集合相等A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BA6、空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ性质:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。例题：集合，，且，则实数＝__.（答：）重要结论：有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集7、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x

9、x

10、A，且xB｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：AB（读作‘A并B’），即AB={x

11、xA，或xB})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作，即CSA=韦恩图示3性质AA=AAΦ=ΦAB=BAABAABBAA=AAΦ=AAB=BAABＡABB(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．集合的运算的重要结论：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺.例题：已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。（答：）解：∵至少存在一点C

12、使f(c)〉0,也就是说最大值>0二次函数看f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1开口向上所以最大值在端点取到f(-1)=-2p²+p+1f(1)=-2p²-3p+9函数的对称轴为（p-2）/4当（p-2）/4≥0的时候，即p≥2函数的最大值为f(-1)-2p²+p+1>0在p≥2无解当（p-2）/4<0的时候，即p<2函数的最大值为f(1)-2p²-3p+9>0在p<2的情况下解为-3

13、x2+2x-8=0},B={x

14、x2-5x+6=0},C={x

15、x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值解：由题意可得：A={-4

16、,2}B={2,3}若B∩C≠Φ，A∩C=Φ则3∈C且2不属于C且-4不属于C则9-3m+m²-19=0解得m=5或-2若m=5则C={x

17、x²-5x+6=0}={2,3}所以m=5不成立舍去若m=-2则C={x

18、x²+2x-15=0}={-5，3}所以m=-2也成立综上所述m=-2例题：设A＝{x

19、x2＋4x＝0}，B＝{x

20、x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，B⊆A，求实数a的取值范围． 解 ：A＝{x

21、x2＋4x＝0}＝{0，－4}，因此A的子集分