【教学设计】《对数函数及其性质》（人教）-1

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1、《对数函数及其性质》◆教材分析本节内容是在学习了指数函数后，通过具体实例了解对数函数模型的实际背景，学习对数的概念进而学习对数函数。教材的编写中反映了指数函数与对数函数的很多对应关系，为反函数的提出作为铺垫。本本节的重难点是对数函数的定义、图像和性质。解决有关对数函数的问题时，一要注意对数函数的定义域，二要注意底数的取值范围的限制，需要分类讨论时一定要分类讨论。◆教学目标【知识与能力目标】对数函数的概念，熟悉对数函数的图像与性质规律.掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题。【过程与方法目标】让学生通过观察对数函数的图像，发现并归纳对数函数的性质.学生通过观察和类比函数图像，体会两

2、种函数的单调性差异。【情感态度价值观目标】培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力，体会指数函数与对数函数互为反函数，培养学生严谨的科学态度。◆教学重难点◆【教学重点】理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像和性质.理解指数函数与对数函数内在联系。【教学难点】底数对图像的影响及对数函数性质的作用。◆课前准备◆回顾指数与指数函数的性质和对数与对数的运算，阅读材料《对数的发明》。◆教学过程．设置情境在．．的例中，考古学家利用估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个含量，通过关系式，都有唯一确定的年代与之对应。同理，对于每一个对数式中的，任取一个正的实数值，均有唯一的值与之对应，所以的函数。．

3、探索新知一般地，我们把函数（＞且≠）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（，∞）。提问：（）在函数的定义中，为什么要限定＞且≠。（）为什么对数函数（＞且≠）的定义域是（，∞）。组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解。答：①根据对数与指数式的关系，知可化为，由指数的概念，要使有意义，必须规定＞且≠。②因为可化为，不管取什么值，由指数函数的性质，＞，所以。下面我们来研究函数的图像，并通过图像来研究函数的性质：先完成表－，并根据此表用描点法或用电脑画出函数再利用电脑软件画出－　　　　　　０　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

4、　　注意到：，若点的图像上，则点的图像上。由于（）与（）关于轴对称，因此，的图像与的图像关于轴对称。所以，由此我们可以画出的图像。先由学生自己画出的图像，再由电脑软件画出与的图像。探究：选取底数＞，且≠）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图像。观察图像，你能发现它们有哪些特征吗？作法：用多媒体再画出，，和提问：通过函数的图像，你能说出底数与函数图像的关系吗？函数的图像有何特征，性质又如何？先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质。(投影)图像的特征函数的性质（）图像都在轴的右边（）定义域是（，∞）（）函数图像都经过（，）点（）的对数是（）从左往右看，当＞时

5、，图像逐渐上升，当＜＜时，图像逐渐下降（）当＞时，是增函数，当＜＜时，是减函数（）当＞时，函数图像在（，）点右边的纵坐标都大于，在（，）点左边的纵坐标都小于。当＜＜时，图像正好相反，在（，）点右边的纵坐标都小于，在（，）点左边的纵坐标都大于。（）当＞时：＞，则＞；＜＜，＜；当＜＜时：＞，则＜；＜＜，＜。由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）：＞＜＜图像性质（）定义域（，∞）；（）值域；（）过点（，），即当，；（）在（，∞）上是增函数在（，∞）是上减函数.例题讲解例求下列函数的定义域（）（）（＞且≠）分析：由对数函数的定义知：＞；＞，解出

6、不等式就可求出定义域。解：（）因为＞，即≠，所以函数的定义域为.（）因为＞，即＜，所以函数的定义域为＜.例比较下列各组数中的两个值大小（）（）（）（＞，且≠）分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：（）解法：用图形计算器或多媒体画出对数函数的图像.在图像上，横坐标为、的点在横坐标为的点的下方：所以，解法：由函数上是单调增函数，且＜，所以。解法：直接用计算器计算得：，（）第（）小题类似（）注：底数是常数，但要分类讨论的范围，再由函数单调性判断大小。解法：当＞时，在（，＋∞）上是增函数，且＜.所以，当时，在（，＋∞）上是减函数，且＜。所以，解法：转化为指数函数，再由指数函数的单调

7、判断大小不一，令令则当＞时，在上是增函数，且＜所以，＜，即＜当＜＜时，在上是减函数，且＞所以，＜，即＞说明：先画图像，由数形结合方法解答.课堂练习：Ｐ８５　　练习　　第２，３题.反函数探究：在指数函数中，为自变量，为因变量，如果把当成自变量，当成因变量，那么是的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由。引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论。在指数函数中，是自变量，是的函数（），而且其在上是单调递增函数。过轴正半轴上任意一点作轴的平行