【教学设计】《圆的标准方程》（北师大）

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1、《圆的标准方程》◆教材分析圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的基础，对于知识的后续学习，具有相当重要的意义。◆教学目标【知识与能力目标】掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；会用待定系数法求圆的标准方程。【过程与方法目标】进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，

2、注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。【情感态度价值观目标】通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。◆教学重难点◆【教学重点】圆的标准方程[来。【教学难点】会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。◆课前准备电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。◆教学过程一、导入部分如图，把石子看成点，把波纹看成圆．你知道石子与一圈圈的波纹是什么关系吗？二、研探新知，建构概念.电子白板投影出上面实例。点在圆内。.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。（）圆的标准方程①圆心为(，

3、)，半径为，圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2②圆心为坐标原点，半径为，圆的标准方程是x2+y2=r2注意：()圆的标准方程(－)＋(－)＝中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(，)是圆的定位条件，半径是圆的定量条件。反之，若已知圆的标准方程便可以直接得到圆心和半径。()几种特殊位置的圆的标准方程：条件方程形式过原点(－)＋(－)＝＋(＋≠)圆心在轴上(－)＋＝(≠)圆心在轴上＋(－)＝(≠)（）点与圆的位置关系设圆的标准方程为(－)＋(－)＝，点(，)，①点在圆上⇔(－)＋(－；②点在圆内⇔(－)＋(－)<；

4、③点在圆外⇔(－)＋(－)>。（）中点坐标公式设(，)，(，)，则线段的中点坐标为（x1+x22，y1+y22）。三、质疑答辩，发展思维.举例：点()在圆(－)＋＝的外部，则的范围是什么？解析：由条件知<(－)＋＝，∴－<<。.思考：怎么判断点与圆的位置关系？解：判断点与圆位置关系的两种方法：()几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小。()代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点(，)在圆上⇔(－)＋(－)＝；点(，)在圆内⇔(－)＋(－)<；点(，)在圆外⇔(－)＋(－)>。思考：怎么求圆的标准方程？解：求圆的标准方程主要是待定

5、系数法，也可用几何法。()几何法：利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程。()待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，其步骤为设方程、列式、求解。.例题例已知(－，－)，(，－)，求以线段为直径的圆的标准方程。解：圆心为的中点(，－)，半径为AB2=12（6+4）2+（-1+5）2=29，所以圆的标准方程为（x-1）2+(y+3)2=29。例求过点(，－)，(－)，且圆心在直线＋－＝上的圆的标准方程。解析：的垂直平分线方程是－＝，解方程组x-y=0x+y-2=0得x=1y=1即圆心()，则半

6、径＝＝，所以圆的标准方程是(－)＋(－)＝。.巩固练习（）以(，－)为圆心，为半径的圆的标准方程为。解析：由圆心为(，)，半径为的圆的标准方程为(－)＋(－)＝，易知答案为(－)＋(＋)＝。()若直线＋－＝始终平分圆(－)＋(－)＝的周长，则＋＝。解析：由题可知，圆心(，)在直线＋－＝上，∴＋－＝，即＋＝。（）若直线＝＋通过第一、二、四象限，则圆(＋)＋(＋)＝的圆心位于第象限。解析：(－，－)为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到＜，＞，即－＞，－＜，所以圆心位于第四象限。（）求圆心在轴上，且过()，(，－)两点的圆的方程。解：设圆心为()

7、，则(a-1)2+16=(a-2)2+9，所以＝－。半径r=(a-1)2+16=5，故所求圆的方程为(＋)＋＝。四、课堂小结：.圆的标准方程：①圆心为(，)，半径为，圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2；②圆心为坐标原点，半径为，圆的标准方程是x2+y2=r2。.点与圆的位置关系：设圆的标准方程为(－)＋(－)＝，点(，)，①点在圆上⇔(－)＋(－；②点在圆内⇔(－)＋(－)<；③点在圆外⇔(－)＋(－)>。.中点坐标公式：设(，)，(，)，则线段的中点坐标为（x1+x22，y1+y22）。五、作业布置：课后书面作业：第页练习第题。◆教

8、学反思略。