《向量数乘运算及其几何意义》教案

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1、《向量数乘运算及其几何意义》教案一、教材分析1.《新课程标准》的解读分析向量具有丰富的现实背景和物理背景，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁,是重要的数学模型.在本模块的教学中，应鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题.在相应的内容中可以插入数学探究或数学建模活动.2.在整个高中教材中的地位和作用.向量，具有“数”与“行”的双重身份，是处理问题的一种工具，作用非常大，贯穿于整个高中数学的学习中.3.本章节地位、本节的逻辑关系.向量数乘运算及其几何意义位于人教版《必修4》2.2.3节，在本章节中起着承前起后的作用.学生在掌握向

2、量加法、减法的基础上，学习实数与向量的积的运算已无多大困难.通过前面学习二、教学重难点重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理.难点：向量共线定理的探究及其应用.三、三维目标设计1.知识与技能:通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理.熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题.2.过程与方法:理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线.3.态度情感与价值观：通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程

3、的能力，合作释疑过程中合作交流的能力.激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神.四、教学过程（一）引入1.复习向量的加法、减法，（温故而知新），采用提问的形式.问题1：向量加法的运算法则？问题2：向量减法的几何意义？学生回答完毕后，教师通过多媒体上的图像让学生更直观感受.向量的加法：三角形法则（首尾相连）和平行四边形法则（共起点）.向量的减法：，则.（共起点，连终点，方向指向被减数）.2.问题情境：一质点从点O出发做匀速直线运动，若经过1s的位移对应的向量用表示，那么在同方向上

4、经过3s的位移所对应的向量可用来表示.这是何种运算的结果？启发学生发现：这些公式都是实数与向量间的关系3.【探究1】已知非零向量，作出和，你能说处他们的几何意义吗？问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？问题2：这些变化与哪些因素有关？将学生分成两组，第一组：；第二组：.让学生在白纸上作出图像，并讨论两个问题.最后学生之间互相交流，总结结论.生：与方向相同且；生：与方向相反且师：非常好！教师通过多媒体，看长度和方向的图像变化形式.（二）新课讲解1.实数与向量的积的定义请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数λ与向量的

5、积？启发学生从以下角度思考：是向量？长度？方向？根据学生总结，让学生看大屏幕.2.实数与向量的积的运算律一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度和方向规定如下：（1）（2）当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反。由（1）可知，当或时，【探究2】问题一：求作向量和(为非零向量)，并进行比较.问题二：已知向量、，求作向量和，并进行比较.类比实数乘法的运算律向量数乘的运算律：设、为任意向量，、为任意实数，则有：结合律：第一分配律：第二分配律：为了降低难度，教科书不要

6、求对三个运算律作出证明，只要求学生会用.小注：实数与向量可以求积，但不能进行加减运算.例1：计算(口答)(1)(2)(3)设计意图：要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律.教学中，不能让学生将本题简单地看作字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点.解：(1)原式=(2)原式=(3)原式=剖析：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算.对于任意向量、及任意实数、,恒有.3、向量共线定理思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？生：数乘向量与原向量是共线的.【

7、探究3】问题1：如果(),那么，向量与是否共线？问题2:与非零向量共线，那么，？（学生分成两组，各选一问进行研究，然后同学之间相互交流，最后提升结论.教师巡视，适时加以引导，了解学生进展情况）生：对于向量()、，如果有一个实数，使得,那么，由数乘向量的定义知：向量与共线.生：若向量与共线，，且向量的长度是的长度的倍，即有,当与同方向时，有;当与反方向时，有，所以始终有一个实数，使.师：如果没有的限制，会有什么结果？（学生惊讶，没有限制会怎么样呢？马上进入思考状态.）生：问题1成立.与任意向量都是共线向量.生：问题2不成立.向量

8、共线定理：向量与非零向量共线当且仅当有唯一一个实数，使得评析：1.让学生正确理解定理包含的两层意思.也就是将来我们在选修中学到的充要条件.2.让学生自己先体验；若无此限制，会有什么结果？再感悟到只有用非零向量，才能表示与它共线的所有向量.3.通过分组讨论后，集同学们的劳动成果