必修三：2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)

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1、2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征众数、中位数、平均数的概念(1)众数：一组数据中出现_____最多的数称为这组数据的众数．一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有．众数反映了该组数据的_________．在频率分布直方图中，最高矩形的_____就是数据的众数．(2)中位数：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于_____位置的数称为这组数据的中位数(或两个数据的平均数)．一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积_____.自学导引1．次数集中趋势中间相等中点众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关

2、系是怎样的？提示(1)众数是最高矩形中点的横坐标；(2)中位数左右两边的直方图的面积应该相等；(3)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．平均水平标准差与方差(1)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用公式s=___________________________________.2．题型一众数、中位数、平均数的简单应用某校高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次数学测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．(1)求这次测验全班平均分(精确到0.

3、01)；(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？[思路探索]根据各种数据的定义及意义解决．【例1】(2)∵男同学的中位数是75，∴至少有14人得分不超过75分．又∵女同学的中位数是80，∴至少有11人得分不超过80分．∴全班至少有25人得分低于80分(含80分)．(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大．规律方法1.中位数的求法(1)当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间那个数．(2)当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两

4、个数的平均数．2．深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，并结合实际情况，灵活应用．某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：选用平均数与众数、中位数评估这两个班的成绩．【变式1】分数5060708090100甲班人数161211155乙班人数351531311解甲班平均分79.6分，乙班平均分80.2分，从平均分看成绩较好的是乙班；甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班；甲班的第25个和第26个数据都是80，所以中位数是80分，同理乙班中位数也是80分，但是甲班成绩在中位数以上(含中位数)的学生有31人，占全班学生的62

5、%，同理乙班27人，占全班学生的54%，所以从中位数看成绩较好的是甲班．甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．题型二标准差、方差的应用【例2】从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：(单位：cm)甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？【变式2】已知

6、有一组20个数据：(1)求下面的频率分布表中的a,b,c,d,e的值题型三用频率分布表或直方图求数字特征【例3】分组频数频率[20,30)20.1[30,40)3a[40,50)b0.4[50,60)cd[60,70]30.15合计20e(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．审题指导先由频数分别求出各组的频率，列出频率分布表，画出频率分布直方图，再由频率分布直方图中数字特征的意义作答．[规范解答](1)b=20×0.4=8∴a=3/20=0.15易得e=1∴d=1-0.1-0.15-0.4-0.15=0.2∴c=2

7、0×0.2=4（4分）(2)（8分）(3)在[40,50)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为45，又∵前两个小矩形的频率和为0.25.∴设第三个小矩形底边的一部分长为x.则x/10＝0.25/0.4，得x＝6.25.∴中位数为40＋6.25＝46.25.【题后反思】利用频率分布直方图求数字特征；①众数是最高的矩形的底边的中点．②中位数左右两侧直方图的面积相等．③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标．④利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致．但它们能粗略估计