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1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义如何求作两个非零向量的和向量？首尾相接首尾连OAB如何求作两个非零向量的差向量？首同尾连指被减OAB问题：一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为，那么它在同一方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量怎样表示？兔子在相反方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？请同学们自己思考.思考1：已知非零向量，如何求作向量＋＋和（－）＋（－）＋（－）？OABCOMNP向量数乘的定义课堂探究1思考2：向量＋＋和(-)+(-)+(-)分别如何简化其表示形式？思考3：向量3和－3与向量的大小和方向有什么关系？OABCOMNP＋＋记为3，（
2、－）＋（－）＋（－）记为－3.思考4：设为非零向量，那么还是向量吗？它们分别与向量有什么关系？（1）
3、λ
4、=
5、λ
6、
7、
8、；（2）λ>0时,λ与方向相同；λ<0时,λ与方向相反；λ=0时,λ=.思考5：一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λ，该向量的长度及方向与向量有什么关系？判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)实数λ与向量a的积是向量.()(2)实数λ与向量a的和λ+a与差λ-a是向量.()(3)对于非零向量a,向量-3a与向量3a方向相反.()(4)对于非零向量a,向量-6a的模是向量3a的模的2倍.()提示：(1)正确.根据向
9、量数乘的定义可知此说法正确.(2)错误.实数λ与向量a可以作乘法,但不可以作加减法,即λ+a和λ-a是无意义的.(3)正确.因为向量-3a与非零向量a方向相反,向量3a与非零向量a方向相同,所以向量-3a与向量3a方向相反.(4)正确.因为
10、-6a
11、=6
12、a
13、,
14、3a
15、=3
16、a
17、,所以
18、-6a
19、=2×
20、3a
21、.答案:(1)√(2)×(3)√(4)√如图，设点M为△ABC的重心，D为BC的中点，那么向量与，与分别有什么关系？ABCDM向量数乘的运算律及共线向量基本定理思考1：你认为－2×（5），2＋2，可分别转化为什么运算？-2×(5)=-10；2＋2=2(+)；(3＋)=3
22、＋课堂探究2思考2：一般地，设λ，μ为实数，则λ(μ)，(λ＋μ)，λ(＋)分别等于什么？=ABCDE提升总结：思考3：对于（）和，若存在实数λ，使=λ，则与的方向有什么关系？思考4：若（）与共线，则一定存在实数λ，使=λ成立吗？思考5：综上可得向量共线定理：（）与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λ.若＝，上述定理成立吗？共线一定存在不成立ABPO思考6：若存在实数λ，使，则A，B，C三点的位置关系如何？A，B，C三点共线思考7：如图，若P为AB的中点，则与，的关系如何？思考8：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量，，以及任意实数λ，x，y，λ(x±
23、y）可转化为什么运算？λ(x±y）=λx±λy.23O例1.如图，已知任意两个非零向量试作你能判断A，B，C三点之间的位置关系吗？为什么？ABCA，B，C三点共线.解：分别作向量，过点A，C作直线AC.观察发现，不论向量怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A，B，C三点共线.事实上，因为例2.如图，□ABCD的两条对角线相交于点M，且=，=，你能用,表示，，和吗？MABDC1.已知向量a,b,且则一定共线的三点是()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D【解析】选A.因为所以又所以所以与共线,所以A,B,D三点共线.2.如图，在平行四边形ABCD中，点M是
24、AB的中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M，N，C三点共线.提示：设，则一、①的定义及运算律.②向量共线定理.二、定理的应用：1.证明向量共线；2.证明三点共线:3.证明两直线平行:∥寻求真理的只能是独自探索的人，和那些并不真心热爱真理的人毫不相干。——帕斯捷尔纳克
