1.3 一元二次方程的应用

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1、一元二次方程的应用本课内容本节内容1.3一元二次方程在数学和实际生活中有许多应用，本节来举一些例子．举例例1当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-2与一元一次多项式2x-1的值相等？x2-x-2=2x-1.解:原方程可以写成x2-3x-1=0.这里a=1，b=-3，c=-1，b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=9+4=13，因此从而当或时，x2-x-2与2x-1的值相等．举例例2当y取什么值时，一元二次多项式(y-5)2+9y2的值等于40？(y-5)2+9y2=40解:原方程可以写成

2、2y2-2y-3=0.这里a=2，b=-2，c=-3，b2-4ac=(-2)2-4×2×(-3)=4+24=28，因此从而当或时，(y-5)2+9y2的值等于40．举例例3当t取什么值时，关于x的一元二次方程x2+(x+t)2=t2+2t-1，（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？解:原方程可以写成2x2+2tx+t2-2t+1=0.这里a=2，b=2t，c=t2-2t+1，b2-4ac=(2t)2-4×2×(t2-2t+1)=4t2-8(t2-2t+1)=4t

3、2-4t2+16t-8=16t-8.（1）当b2-4ac=16t-8>0，即t>时，原方程有两个不相等的实数根；（2）当b2-4ac=16t-8=0，即t=时，原方程有两个相等的实数根；（3）当b2-4ac=16t-8<0，即t<时，原方程没有实数根.练习1.当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-6与一元一次多项式3x-2的值相等？答：答：2.当t取什么值，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根？说一说菱形的面积与它的两条对角线长有什么关系？菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半．举例例4

4、一种铁栅栏护窗的正面是高为120cm、宽为100cm的矩形，在中间有一个由4根铁条组成的菱形，如图1-5所示.菱形的水平方向的对角线比竖直方向的对角线长20cm，并且菱形的面积是护窗正面矩形面积的．（1）求菱形的两条对角线的长度；（2）求组成菱形的每一根铁条的长度．图1-5分析本题的等量关系是：菱形的面积=.菱形两对角线乘积的一半原方程可以写成x2+20x-4800=0，解:（1）设菱形的竖直方向的对角线长为xcm，则它的水平方向的对角线长为(x+20)cm，根据题意，可以列出方程这里a=1，b

5、=20，c=-4800，b2-4ac=202-4×1×(-4800)=400+4×4800=400×(1+48)=400×49，从而x1=60，x2=-80（不合题意，舍去）．因此即菱形的竖直方向的对角线长为60cm，于是它的水平方向的对角线长为80cm．解:（2）由于菱形的两条对角线互相垂直平分，因此菱形的边长为即组成菱形的每一根铁条的长度为50cm.举例例5如图1-6，一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为36

6、4cm2.求截去的小正方形的边长.图1-6分析本题的等量关系是：=.底面长×宽364解:（1）设截去的小正方形的边长为xcm，则无盖长方体盒子的底面边长分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm，根据题意，可以列出方程(40-2x)(28-2x)=364．从而x1=27，x2=7．因此原方程可以写成x2-34x+189=0.这里a=1，b=-34，c=189，b2-4ac=(-34)2-4×1×189=(2×17)2-4×189=4(172-189)=4×(289-189)=400，如果截去的

7、小正方形的边长为27cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54cm，这超过了矩形铁皮的长40cm.因此x1=27不合题意，应当舍去．答：截去的小正方形的边长为7cm．从例4和例5可以看出，在运用一元二次方程解实际问题时，一定要注意检查求得的方程的解是否符合实际情况．结论例4一种铁栅栏护窗的正面是高为120cm、宽为100cm的矩形，在中间有一个由4根铁条组成的菱形，如图1-5所示.菱形的水平方向的对角线比竖直方向的对角线长20cm，并且菱形的面积是护窗正面矩形面积的．（1）求菱形的两

8、条对角线的长度；（2）求组成菱形的每一根铁条的长度．例5如图1-6，一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364cm2.求截去的小正方形的边长.练习1.在例5中，如果要使折成的无盖长方体的盒子的底面积为540cm2，那么截去的小正方体的边长是多少？答：边长为5cm.例5如图1-6，一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364cm2.求