空间向量单元检测

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1、空间向量单元检测(时间：120分钟；满分：160分)1．在空间直角坐标系中，已知点，，点在轴上，且到与到的距离相等，则的坐标是________．2．已知、，则以、为邻边的平行四边形的面积为．3．如图，正方体的棱长为1，、是两棱中点，、、是顶点，则点到截面的距离是__________．4．如图，在直三棱柱中，，，已知与分别是棱和的中点，与分别是线段与上的动点（不包括端点）．若⊥，则线段的长度的取值范围是．5．如图，在长方体中，已知，，，E，F分别是棱AB，BC上的点，且．ADECBD1C1B1A1FG（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）试在面上确定一点G，使平面．DO

2、MABC6．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，底面，，为的中点．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值．ABCDPA1B1C1D1C1xyz7．如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上的一点，．（1）试确定，使直线与平面所成角为；（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，⊥，并证明你的结论．8．在正方体中，是的中点，是线段上一点，且．（1）若，求异面直线与所成角的余弦值；A1BADCBAOEBAB1CBAA1CBACBAC1D1（2）若平面⊥平面，求的值．9．如图，在直三棱柱中，，，，．(第9题)BACA1DB

3、1C1（1）设，异面直线与所成角的余弦值为，求的值；（2）若点是的中点，求二面角的余弦值．10．如图，在四棱锥中，已知⊥底面，⊥，∥，＝＝2，⊥，异面直线和所成角等于．（1）求直线和平面所成角的正弦值的大小；（2）在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，指出点在棱上的位置；若不存在，说明理由．11．如图，在棱长为1的正方体中，、分别为和的中点．（1）求异面直线和所成的角的余弦值；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（3）若点在正方形内部或其边界上，且平面，求的最大值、最小值．12．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，⊥，是的中点，是的中点，点在直线上，且满

4、足．PNMABC（1）当取何值时，直线与平面所成的角最大？（2）若平面与平面所成的二面角为，试确定点的位置．空间向量单元检测答案1．　　　2．　　　3．　　　4．ADECBD1C1B1A1FG5．如图，在长方体中，已知，，，E，F分别是棱AB，BC上的点，且．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）试在面上确定一点G，使平面．xzyADECBD1C1B1A1FG解：以为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，（1），．………………………3分设与所成角为，则∴异面直线与所成角的余弦值为．………………………………………5分（2）因点

5、在平面上，故可设．，，．………………………………7分由得解得．故当点在面上，且到，距离均为时，平面．10分DOMABC6．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，底面，，为的中点．（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值．解：作交于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，．…………………………………………2分（1）设异面直线与所成的角为，，，与所成角的大小为．……………5分（2），，设平面OCD的法向量为．则，即，取，得，，即有．……………………………6分易知平面OAB的一个法向量为．．………………

6、……………………………………9分由图形知，平面与平面所成的二面角的余弦值为．…………………………10分7．如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上的一点，．（1）试确定，使直线与平面所成角为60º；（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，⊥，并证明你的结论．ABCDPA1B1C1D1C1xyz解：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则有A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，2)，D1(0，0，2)．（1）有．………………………………………3分又由知为平面的一个法向量．设与所成的

7、角为，则=，解得．故当时，直线AP与平面所成角为60º．…………5分（2）假设在上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，则．依题意，，即Q为的中点时，满足题设的要求．……………………………………………10分8．在正方体中，是的中点，是线段上一点，且．A1BADCBAOEBAB1CBAA1CBACBAC1D1（1）若，求异面直线与所成角的余弦值；（2）若平面⊥平面，求的值．解：不妨设正方体的棱长为1，以为单位正交基底建立空间直角坐标系．则A(1，0，0)，，，D1(0，0，1)，E．（1），．……………………………………………3分由cos＝＝