量子力学复习题--大题

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1、1．2在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv，如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（），那么如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有在这里，利用了以及最后，对作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒

2、子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。1．3氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。解根据，知本题的氦原子的动能为显然远远小于这样，便有这里，利用了最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相应的德布罗意波长就为据此可知，当体系的温度越低，相应的德布

3、罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。p.522.1.证明在定态中，几率流密度与时间无关。证：对于定态，可令可见无关。2.2由下列两定态波函数计算几率流密度：从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点)传播的球面波。解：在球坐标中同向。表示向外传播的球面波。可见，反向。表示向内(即向原点)传播的球面波。补充：

4、设，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？∴波函数不能按方式归一化。其相对位置几率分布函数为表示粒子在空间各处出现的几率相同。#3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。解：由波函数的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为能量的几率分布函数为先把归一化，由归一化条件，∴∴∴3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为求粒子的能级和定态波函数。解：据题意，在的区域，，所以粒子不可能运

5、动到这一区域，即在这区域粒子的波函数()由于在的区域内，。只求角动量为零的情况，即，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与有关，而与无关。设为，则粒子的能量的本征方程为令，得其通解为波函数的有限性条件知，有限，则A=0∴由波函数的连续性条件，有∵∴∴其中B为归一化，由归一化条件得∴∴归一化的波函数4.3求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。解：定态薛定谔方程为即两边乘以，得令跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值

6、和本征函数为式中为归一化因子，即#4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。解：5.3设一体系未受微扰作用时有两个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。解：由微扰公式得得∴能量的二级修正值为5.7计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。解：若，则#7.1.证明：证：由对易关系及反对易关系，得上式两边乘，得∵∴7.5设氢的状态是①求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值；②求总磁矩的z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。解：可改写成从ψ的

7、表达式中可看出的可能值为0相应的几率为的可能值为相应的几率为