1.4二次函数与一元二次方程的联系1

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1、1.4二次函数与一元二次方程的联系湘教版九年级下册第1章二次函数掷铅球时，铅球在空中经过的路线是抛物线.新课导入已知某运动员掷铅球时，铅球在空中经过的抛物线的解析式为其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度，你能求出铅球被扔出多远吗？铅球的着地点A的纵坐标y=0，横坐标x就是铅球被扔出去的水平距离，由抛物线的解析式①，得即x2-18x-40=0.这里a=1，b=-18，c=-40，b2-4ac=(-18)2-4×1×(-40)=484，从而x1=20，x2=-2(不合题意，舍去).因此所以，铅球被扔出去20m远.因此，我们可以在直角坐标系中

2、画出铅球所经过的路线图.如图所示.从上面例子，求铅球被扔出去多远的解题过程中，你看到在求抛物线与x轴的交点的横坐标时，需要做什么事情？说一说需要令y=0，解所得的一元二次方程.探索新知例1求抛物线y=4x2+12x+5与x轴的交点的横坐标.解4x2+12x+5=0，这里a=4，b=12，c=5，b2-4ac=122-4×4×5=144-80=64.因此从而所以抛物线y=4x2+12x+5与x轴的交点的横坐标为或典例赏析例2求抛物线y=x2+2x+1与x轴的交点的横坐标.解x2+2x+1=0.即(x+1)2=0.解得x1=x2=-1.因此，抛物线y=x2+

3、2x+1与x轴的交点的横坐标为-1.例3抛物线y=x2+2x+2与x轴有交点吗？解x2+2x+2=0.这里a=1，b=2，c=2，b2-4ac=22-4×1×2=4-8＜0.这个一元二次方程没有实数解，因此抛物线y=x2+2x+2与x轴没有交点.例4在上面掷铅球的例子中，若铅球在空中经过的抛物线是当铅球离地面高度为2m时，它离初始位置的水平距离是多少(精确到0.01m)？解由抛物线的解析式得即x2-18x+40=0.这里a=1，b=-18，c=40，b2-4ac=(-18)2-4×1×40=164.从而x1≈15.40，x2≈2.60.因此答：当铅球离地

4、面高度为2m时，它离初始位置的水平距离约为2.60m或15.40m.从掷铅球的例子可以看到，当已知抛物线上点的纵坐标y，求该点的横坐标x时，需要做什么事情？说一说已知某运动员掷铅球时，铅球在空中经过的抛物线的解析式为其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.需要解一元二次方程.上例表明：已知二次函数的函数值，求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程.反之，解一元二次方程能不能借助二次函数呢？例5求一元二次方程x2-2x-1=0的解的近似值(精确到0.1).分析从例1受到启发，一元二次方程x2-2x-1=0的解就是抛物线y=x2-2x-1与x

5、轴的交点的横坐标.因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标.这种解一元二次方程的方法叫做图象法.例1求抛物线y=4x2+12x+5与x轴的交点的横坐标.解y=x2-2x-1=(x2-2x+1-1)-1=(x-1)2-2.对称轴是x=1，顶点坐标是(1,-2).列表x122.53y=(x-1)2-2-2-10.252描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性画出图象在对称轴左边的部分.就得到了y=x2-2x-1的图象.如图2图2从图量得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4，因此方程x2-2x-1=0的解的近似值为

6、-0.4或2.4。图21.求下列抛物线与x轴的交点的横坐标：练习（1）y=x2-x-2；（2）y=9x2+12x+4；答案：x1=-1，x2=2.（3）y=x2-2x+1.答案：答案：x=1.随堂演练2.已知函数y=x2-4x+3.（1）画出函数的图象；（2）观察图象，当x取哪些值时，函数值为0？(2).x1=1，x2=3.(1).解.3.在上面掷铅球的例子中，当铅球离地面的高度为1.5m时，它离初始位置的水平距离是多少(精确到0.01)？即x2-18x+20=0.解由抛物线的解析式得这里a=1，b=-18，c=20，b2-4ac=(-18)2-4×1×

7、20=244.从而x1≈1.19，x2≈16.81.因此答：当铅球离地面高度为1.5m时，它离初始位置的水平距离约为1.19m或17.81m.4.用图象法求一元二次方程x2+x-1=0的解的近似值(精确到0.1).答：x1≈-1.6，x2≈0.6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（）A.a<0B.abc>0C.a+b+c>0D.b2-4ac>0C解析∵抛物线的开口向下，∴a<0，∵抛物线与y轴交于正轴，∴c>0，∵抛物线的对称轴x=<0，∴b<0，∴abc>0，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2-4ac>0，∴A、B、

8、D都正确.∵当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，∴C错误.故选C.中考链接1.