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1、浅淡数学解题的特殊方法学校:丰城市孙渡中学姓名:徐国喜联系电话:159328051718浅淡数学解题的特殊方法孙渡中学徐国喜[内容提要]本文介绍了几种特殊的数学解题方法:①通过挖掘隐含条件解题法②面积法③分解法④扩充法⑤特殊化法⑥类比法关键词:特殊方法数学题的解答,方法灵活,富于变化,总结解题的一般规律,研究解题的思路、方法,积累解题的技能、技巧,历来是数学教学的重要任务。解数学题,在掌握一般方法的基础上,还应掌握一些特殊的解题方法。本文我结合自身的教学从特殊方法解题的角度谈谈个人的体会。一、通过挖掘隐含条件寻求特殊解法。数学教学中对各种问题的隐含条件挖掘越
2、多,学生辨认隐蔽的和谐关系的洞察力也就越强,挖掘问题的隐含条件,结论图象及解题过程入手,通过教师适时点拔,巧妙运用,就能点燃学生思维的火花,快速地找到解题思路。例1:解方程8∴m=2或m=-2例2:已知a-2004+=a求a-20042的值,分析:刚开始大多数同学会束缚于两个非负数的和,这就会陷于困境,若能充分挖掘隐含条件a-2005≥0问题就迎刃而解了。二、巧用面积法解题所谓面积法,也就是运用图形的面积关系,建立一个或几个关于面积的方程或不等式,通过推理、演算,以达到解题的目的,从而找到解题的方法。例3:求证:等腰三解形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于
3、腰上的高。已知:如图:ΔABC中,AB=AC,P为BC上任意一点,PE⊥AB,PF⊥AC,CD⊥AB,重足分别为E、F、D求证PE+PF=CD证明:连接AP,则SΔABC=SΔAPB+SΔAPC∵SΔPBA=、AB、PESΔPAC=、AC、PFSΔABC=、AB、CD8∴SΔABC=SΔPBA+SΔPAC=AB、PE+AC、PF∵AB=AC∴CD=PE+PF例4设直线t1t2t3且分别截直线a、b于A、B、C与D、E、F,求证证明:连AE、BD、CE、BF注意到ΔEAB和ΔEBC同底有同理而ΔEAB与ΔDBE同底同高ΔEBC与ΔEBF同底同高有SΔEAB=S
4、ΔDBE,SΔEBC=SΔEBF∴三、巧用分解法解题所谓分解法,就是将一个图形分成几个简单的图形,或者分成几个具有某种特殊关系的图形,然后借助于对分解后的图形的性质,来推导出所需要的结论的一种方法。例5设ABCD为任意四边形,E、F将AB分成三等分G、H将CD分成三等分。求证:SEFGH=SABCD分析:(1)为寻求四边形EFGH与ABCD面积之间的关系,连接EG8将四边形EFGH分解为两个三角形,同时连结DE,BG,则GH=DG,EF=EB,所以SΔEHG=SΔEDGSΔGEF=SΔGEB于是,SEFGH=SΔEHG+SΔGEF=SΔEDG+SΔGEB=S
5、EBGD(2)为寻求四边形EBGD与ABCD面积之间的关系,连BD,将四边形EBGD分解为两个三角形,则SEBGD=SΔEBD+SΔGDB=SΔABD+SΔCDE=SABCD可见,SEFGH=SABCD四、巧用扩充法解题所谓扩充法,就是将一个图形扩充为另一个图形,然后借助于扩充后的图形,来寻求解题的一种方法。例6,已知AD为ΔABC的BC边上的中线,O为AD上一点,BO、CO与AC、AB分别交于E、F。分析:欲证EFBC,只需证,考虑到AD是中线,如果将ΔBOC扩充为BOCG,(延长OD到G,使OG=OD)连结BG,CG,则OCBG,OBCG由OCBG8得由
6、OBCG得于是五、巧用特殊化解题所谓特殊化法,就是先考察命题的某些特殊情形,从特例中探索一般规律或从中得到启发,从而解决一般性问题的一种方法。例7设P为定角平分线上一定点,以OP为弦作一圆,分别交OA,OB于C、D求证OC与OD的和为定值。分析:如图(2)设OP经过圆心(特殊位置的弦)且∠AOB=2α,OP=t,则∠OCP=∠ODP=900,OC+OD=20C=2tcosα(定值)下面证明一般情况:证明:如图(1)所示,作PE⊥OAFE,PF⊥OB于F因为OP为的平分线,所以PE=PF,OE=OF=tcosα∵∠PCE=∠PDF8∴∠RtΔPCE≌RtΔPD
7、F于是CE=DF∴OC+OD=(OE-CE)+(OF+FD)=OE+OF=2tcosα(定值)六、巧用类比法解题所谓类比法,就是将所论证问题与类似问题进行对比而得到启发,从而使问题得到解决的一种方法。常用的类比法有特殊与一般类比,题型结构的类比,空间图形与平面图形的类比,运用类比法既要广泛联想,思想开阔,又要机敏灵活,触类旁通。例8:如图,在ΔABC中,已知AB=AC,∠BAC=1080AH∠BC于H,∠DAC=∠BAC,∠CAE=∠CAF求证:分析:本题结论的左端是两个倒数平方和,右端是倒数的平方,可以通过变形使右端为1,这就启发我们与公式sin2α+co
8、s2α=1相类比,8由已知条件知,∠BAC=1080
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