江苏省南菁高级中学2013届高三第二学期开学质量检测数学试卷

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1、江苏省南菁高级中学2013届高三第二学期开学质量检测 数学试卷一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,计70分,请将答案填入答题区)1.若集合=____.2.命题“x∈R,有x2+1≥x”的否定是____.3.若i是虚数单位,则=____.4.“<1”是“成立”的____.条件(填充分不必要、必要不充分,既不充分也不必要,充要).5.已知流程图如图所示,为使输出的值为16,则判断框内①处应填____.第5题图6.已知直线与曲线在处的切线互相垂直,则____.7.已知cosα=,cos(α−β)=,且0<β<α<,则β=____.8.若

2、4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为____.9.若A、B与F1、F2分别为椭圆C:的两长轴端点与两焦点,椭圆C上的点P使得∠F1PF2=,则tan∠APB=____.10.已知数列{an}(n∈N*)满足a1=1且,则其前2013项的和为____.11.定义在R上的函数是增函数,且函数的图像关于(2,0)成中心对称,若s,t满足不等式,若时,则的最大值为____.·11·12.已知圆M:,过轴上的点存在一直线与圆M相交,交点为A、B,且满足PA=BA,则点P的横坐标

3、的取值范围为____.13.已知非零向量与满足,则的最小值为____.14.已知,点的坐标满足,则的取值范围为____.15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且A,B,C成等差数列.(1)若·=-,b=,求a+c的值;(2)求2sinA-sinC的取值范围.16.在三棱柱中,已知底面是边长为的正三角形,侧棱,点分别为边的中点,⊥底面.(Ⅰ)求证:线段DE∥平面;(Ⅱ)求证:FO⊥平面.17.某生产旅游纪念品的工厂,拟在2010年度将进行系列促销活动.经市场调查和测算,该纪念品的年销售量万件与年促销费用万元之间满足与成反比

4、例.若不搞促销活动,纪念品的年销售量只有1万件.已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元,每生产1万件纪念品另外需要投资32万元.当工厂把每件纪念品的售价定为:“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时,则当年的产量和销量相等.(利润=收入-生产成本-促销费用)(1)求出与所满足的关系式;(2)请把该工厂2010年的年利润万元表示成促销费万元的函数;(3)试问:当2010年的促销费投入多少万元时,该工厂的年利润最大?·11·18.如图,椭圆C:过点,梯形ABCD(AB∥CD∥轴,且)内接于椭圆,E是对角线A

5、C与BD的交点.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设试求的最大值.19.已知函数,且,.(1)求､的值;(2)已知定点,设点是函数图象上的任意一点,求的最小值,并求此时点的坐标;(3)当时,不等式恒成立,求实数m的取值范围.20.设数列,对任意都有,(其中､､是常数)｡(1)当,,时,求;(2)当,,时,若,,求数列的通项公式;(3)若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当,,时,设是数列的前项和,,试问:是否存在这样的“封闭数列”,使得对任意,都有,且.若存在,求数列的首项的所有取值;若不存在,说明理由.2

6、1.学校餐厅每天供应1000名学生用餐,每星期一有A､B两样菜可供选择,调查资料表明,凡是在本周星期一选A菜的,下周星期一会有20%改选B,而选B菜的,下周星期一则有30%改选A,若用An､Bn分别表示在第n个星期一选A､B菜的人数.(1)若,请你写出二阶矩阵M;(2)求二阶矩阵M的逆矩阵.·11·22.若极坐标系的极轴与直角坐标系的x轴非负半轴重合,单位长度相等,已知曲线C的参数方程为,曲线D的极坐标方程为.(1)将曲线的参数方程化为普通方程;(2)曲线C与曲线D有无公共点?试说明理由.23.如图,已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与

7、底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M､N分别是CC1､BC的中点,点P在直线A1B1上,且满足.(1)证明:PN⊥AM;(2)若平面PMN与平面ABC所成的角为45°,试确定点P的位置.24.设数列满足,.(1)当时,求证:M;(2)当时,求证:;(3)当时,判断元素与集合的关系,并证明你的结论.·11·参考答案一填空题:1.2.x∈R,使x2+1

8、(π-B)=-,∴ac=,即ac=3.∵b=,b2=a2+c2-2accosB,∴a2+c2-ac=3,即(a+c)2-3ac=3.∴(a+c)2=12,所以a+c=2(2)2sinA-sin