科学计算与数学建模

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1、科学计算与数学建模中南大学数学科学与计算技术学院——小行星轨道方程计算问题第五章小行星轨道方程计算问题——线性方程组求解的直接法小行星轨道方程问题5.1线性方程组直接解法概述5.2直接解法5.3小行星轨道方程问题的模型求解5.45.1.1问题的引入一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，其单位为天文测量单位，在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上的5个点的坐标数据如下表：表5.1.1轨道上的5个点的坐标数据试确立小行星的轨道方程，并画出小行星的运动轨线图形。123455.7646.2866

2、.7597.1687.4080.6481.2021.8232.5263.3605.1小行星轨道方程问题5.1.2模型的分析由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，设椭圆的一般方程为：，需要确定系数利用已知的数据，不妨设欲确定系数等价于求解一个线性方程组：可写成矩阵的形式：其中，，，5.1.3模型的假设假设：(1)小行星轨道方程满足开普勒第一定律；(2)以上所测得数据真实有效。5.1.3模型的建立该问题的模型为：可见，解答上述问题就是对线性方程进行求解。5.2线性方程组直接解法概述直接法：利用一系列递推公式计算有限步，能直接得到方程组的精确解。当然

3、，实际计算结果仍有误差，譬如舍入误差。舍入误差的积累有时甚至会严重影响解的精度求解线性方程组最基本的一种直接法是消去法。这是一个众所周知的古老方法，但用在现代电子计算机上仍然十分有效。消去法的基本思想是，通过将一个方程乘或除以某个常数，以及将两个方程思想是，通过将一个方程乘或除以某个常数，以及将两个方程相加减这两种手续，逐步减少方程中的变元的数目，最终使每个方程仅含一个变元，从而得出所求的解。其中高斯消去法是广泛应用的方法，其求解过程分为消元过程和回代过程两个环节。消元过程将所给的方程组加工成上三角方程组。所归结的方程组再通过回代过程得出它的解。

4、高斯消去法由于添加了回代的过程，算法结构稍复杂，但这种算法的改进明显减少了计算量。直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组，即使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足。5.3.1高斯消去法消去法是一个古老的求解线性方程组的方法。由它改进得选主元法是目前计算机上常用的有效的求解低阶稠密矩阵线性方程组的方法。例5.3.1用消去法解方程组5.3直接解法解：第1步，加到，加到，得等价方程组：第2步，加到得等价的方程组：第3步，回代法求解即可求得该方程组的解为：用矩阵法描述的约化过程即为：这种求解过程称为具有回代的高斯

5、消去法。此例可见Gauss消去法的基本思想是：用矩阵A的初等行变换将系数矩阵化为具有简单形式的矩阵（如上三角阵，单位矩阵等），而三角形方程组是很容易回代求解的。一般的，设有个未知数的线性方程组为：设则化为：为方便，则消去法为：第1步：计算用乘的第一方程加到第个方程中去（即实行行的初等变换），消去第2个到第n个方程中的未知数得与等价方程组：记为：其中式中元素为进一步需要计算的元素，公式为：第，步，继续上述过程消元。设第步到第步计算已完成，得到与原方程组等价的方程组：记为，下面进行第步消元法：设，计算乘数用中第个方程加到第个方程消去中第个方程的未知数

6、得到与原方程组等价的方程组：记为其中中元素计算公式为：最后，重复上述过程，即且设共完成步消元计算，得到与等价的三角形方程组。再用回代法求解的解，计算公式为：元素称为约化的主元素。将化为的过程称为消元过程。由消元过程和回代过程求解线性方程组的方法称为Gauss消去法。的求解过程称为回代过程。定理（Gauss消去法）设若约化的主元素则可通过Gauss消去法（不进行两行的初等变换—两行交换位置）将方程组化为等价的三角形方程组。消元和求解的计算公式为：1、消元计算2、回代计算5.3.2矩阵的三角分解下面用矩阵理论进一步来分析Gauss消去法，设约化主元素

7、由于对实行的初等变换相当于用初等矩阵左乘于是，消去法第1步：,则有：其中：（为初等三角矩阵）Gauss消去法第k步消元过程：则有其中：利用递推公式则有：由得:其中L为由乘数构成的下三角阵,U为上三角矩阵，表明，用矩阵理论来分析Gauss消去法，得到一个重要结果，即在条件下Gauss消去法实质上是A将分解成两个三角矩阵的显然，可由Gauss消去法及行列式性质可知，如果则有其中为顺序主子式反之，可用归纳法证明：如果A的顺序主子式满足：则定理5.3.2（矩阵的三角分解）设，如果的顺序主子式有，则可分解为一个单位下三角矩阵与一个上三角矩阵的乘积，即且分解

8、是唯一的。证明现仅就来证明唯一性，存在性上面已证。假若且对非奇异时考虑，为单位下三角阵，为上三角阵，由假设知存在（因为可逆故可逆），从而