周期信号的分解与合成

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1、第3章连续信号与系统的频域分析本章重点和要点利用傅里叶级数分析周期信号的离散频谱利用傅里叶积分分析非周期信号的连续频谱理解信号的时域与频域间的关系掌握傅里叶变换定义、性质、应用掌握系统的频域分析方法掌握取样定理及其应用理解频谱分析在通信系统中的应用引言回顾时域分析中利用卷积对信号进行分解继而求出响应的思路信号的分解求响应再迭加时域分析:卷积积分频域分析:傅立叶变换复频域分析:拉普拉斯变换自变量为S=+自变量为自变量为t结论LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI系统的特性。

2、3.1信号的正交分解3.1.1矢量的正交分解1.正交矢量图3.1-1两个矢量正交2.矢量的分解图3.1-3平面矢量的分解图3.1-4三维空间矢量的分解上述矢量分解的概念可以推广到n维空间。由n个相互正交的矢量组成一个n维的矢量空间，而正交矢量集{V1,V2,…，Vn}为n维空间的完备正交矢量集。n维空间的任一矢量V，可以精确地表示为这n个正交矢量的线性组合，即式中，Vi·Vj=0(i≠j)。第r个分量的系数3.1.2信号的正交分解1.正交函数设f1(t)和f2(t)为定义在(t1,t2)区间上的两个函数，现在要用与f2(t)成比

3、例的一个函数c12f2(t)近似地代表f1(t)，其误差函数为2.信号的正交展开设有一函数集｛g1(t),g2(t)，…，gN(t)｝，它们定义在区间(t1,t2)上，如果对于所有的i、j(可取1,2,…，N)都有则该函数集就称为区间(t1,t2)上的正交函数集。如果则称该函数集为归一化正交函数集。用一个在区间(t1,t2)上的正交函数集｛gi(t)｝中各函数的线性组合就可逼近定义在(t1,t2)区间上的信号f(t)，即这种近似表示所产生的平方误差为定理3.1-1设｛gi(t)｝在(t1,t2)区间上是关于某一类信号f(t)的完备

4、的正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为｛gi(t)｝的线性组合，即式中，ci为加权系数，且有式(3.1-14)称为正交展开式，有时也称为广义傅里叶级数，ci称为傅里叶系数。(3.1-14)(3.1-15)定理3.1-2在式(3.1-14)条件下，平方误差Ee=0，由(3.1-13)式有式(3.1-16)可以理解为：f(t)的能量等于各个分量的能量之和，即能量守恒。定理3.1-2有时也称为帕塞瓦尔定理。(3.1-16)3.2周期信号的连续时间傅里叶级数3.2周期信号的连续时间傅里叶级数3.2.1三角形式

5、的傅里叶级数三角函数集｛cosnΩt,sinnΩt

6、n=0,1,2,…｝是一个正交函数集，正交区间为(t0,t0+T)。这里T=2π/Ω是各个函数cosnΩt，sinnΩt的周期。三角函数集正交性的证明可利用如下公式：上述正交三角函数集中，当n=0时，cos0°=1,sin0°=0，而0不应计在此正交函数集中，故一正交三角函数集可具体写为式中，Ω=2π/T称为基波角频率，a0/2，an和bn为加权系数。式(3.2-5)就是周期信号f(t)在(t0,t0+T)区间的三角傅里叶级数展开式。由于f(t)为周期信号，且其周期T与三角函数集

7、中各函数的周期T相同，故上述展开式在(-∞,∞)区间也是成立的。可得加权系数：狄利赫利条件：.在一个周期内只有有限个间断点；.在一个周期内有有限个极值点；.在一个周期内函数绝对可积，即一般周期信号都满足这些条件.3.2周期信号的分解与合成3.2.1周期信号的三角级数表示{cosn1t,……sinn1t}3.2.2周期信号的复指数表示{ejn1t}3.1周期信号的分解与合成将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义1.从信号分析的角度将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。2.从系统分析角度已

8、知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应；而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”一书中傅立叶的两个最主要的贡献“周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点3.2.1周期信号的三角级数表示任何正常的周期为T的函数

9、f(t)都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和。直流分量基波分量n=1谐波分量n>1基波角频率3.2.1周期信号的三角级数表示傅立叶系数直流系数余弦分量系数正弦分量系数可取t0=0，t0=－T/23.2.1周期信号的三角级数表示周期信号的另一种三角