向量的内积和距离表

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1、第七章　平面向量7.4.1向量的内积江西省女子中专许丽娟创设情境　兴趣导入Fs图7—21O如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100N的力，角的方向拉小车，使小车前进了100m．朝着与水平线成那么，这个人做了多少功？做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．力F是水平方向的力W＝｜F｜cos30°·｜s｜＝100×·10＝500与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即动脑思考　探索新知W＝｜F｜cos30°·｜s｜＝100×·10＝500这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它

2、等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．新授1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，，则∠AOB叫记作做与的夹角．规定（4）在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．OAB（1）当时，与同向；说明：（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直；记作BAOab如图，设有两个非零向量a，b，作由射线OA与OB所形成的的角叫做向量a与向量b的夹角，记作．两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b，即a·b＝

3、a

4、

5、b

6、cos

7、b>(7.10)由内积的定义可知a·0＝0,0·a＝0.动脑思考　探索新知新授2．向量的内积记作已知非零向量与，为两向量的夹角，则数量（1）两个向量的内积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定．说明：（2）两个向量的内积，写成；符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．叫做与的内积．规定与任何向量的内积为0．向量.向量或=数时时时,或(规定零向量与任一向量垂直)或或或命题3.1(规定零向量与任一向量垂直)满足以下运算规律:1)交换律2)关于数因子的结合律3)分配律向量的内积a·(b·c)≠(a·b)·c.一般地

8、，向量的内积不满足结合律，即动脑思考　探索新知例1已知求．解：由已知条件得新授例2求证证明：⑴⑴⑵⑵因为所以新授7.4.2向量内积的坐标运算与距离公式江西省女子中专许丽娟①_____②_____③______④_____练习一:单位向量i、j分别与x轴、y轴方向相同，求解：1001复习导入：如何用向量的长度、夹角表示内积？如何用内积、长度来表示夹角？的充要条件?如何用向量的内积表示向量的长度?向量的内积：向量的夹角：(判断两向量垂直的依据)(计算向量的长度)动脑思考　探索新知设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，由于i⊥j

9、，故i·j＝0,又

10、i

11、＝

12、j

13、＝1,所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i•i＋x1y2i•j＋x2y1i•j＋y1y2j•j＝x1x2

14、j

15、2＋y1y2

16、j

17、2＝x1x2＋y1y2.这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2(7.11)新授在直角坐标平面内，，为轴，轴的基向量，，，则定理问题（2）若，你能求出吗？解：因为所以向量的长度公式新授在直角坐标平面内，，为轴，轴的基向量，，，则定理推论两向量垂直的充要条件向量内积的坐标运算公式两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的

18、和新授例1已知求解：由已知条件得因为所以又因为新授在直角坐标平面内，，为轴，轴的基向量，，，则定理问题解：因为由向量的长度公式得：则两点间距离公式如果，你能求出的长度吗？新授例2　已知求　　　．解：由已知条件得所以新授例3　已知求证：△ABC是等腰三角形．证明：因为所以即△ABC是等腰三角形．新授拓展　已知求证：．证明：因为所以可得归纳小结本节课我们主要学习了平面向量内积的坐标运算与距离公式，常见的题型主要有：1．直接用两向量的坐标计算内积；2．根据向量的坐标求模；4．运用内积的性质判定两向量是否垂直．3．根据两点的坐标求两点间的距离

19、；谢谢指导！