向量与空间解析几何(I)

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1、10.4空间曲面与一个平面具有一一对应的关系.一般地,若一个三元方程:F(x,y,z)=0与一个曲面具有如下关系:(1)曲面上任一点的坐标都满足方程:F(x,y,z)=0;(2)坐标满足方程:F(x,y,z)=0的点都在曲面上;则称方程:F(x,y,z)=0为曲面的方程,而曲面称为方程:F(x,y,z)=0的图形。1例1.求与定点M0(x0,y0,z0)的距离等于定长R的动点M的轨迹.解:设动点M的坐标为(x,y,z),2例2.设p>0,求到定点M(0,0,p)和平面z=p距离解:动点M(x,y,z)到定点M0(0,0,p)的距离为:相等的动点的轨迹方程。是一个旋转

2、抛物面.310.4.1三种特殊曲面定义给定空间曲线C绕某条定直线L旋转一周而形成的曲面称为旋转曲面,定直线L称为该旋转曲面的中心轴,曲线C称为该旋转曲面的一条母线。A.旋转曲面4设曲线C:f(y,z)=0是yOz坐标面上的一条曲线,在曲面上任取一点M(x,y,z),则此点必是曲线C上某点M0(x0,y0,z0)绕z轴旋转而得,求曲线C绕z轴旋转而成的旋转曲面的方程.5例3.解:6类似地,而成的是单叶旋转双曲面,其方程为:7注意:旋转是双叶旋转双曲面,其方程为:8例2中的轨迹方程为:可以看作是由yOz坐标面上的抛物线:绕z轴旋转而成的旋转曲面的方程,称为旋转抛物面.注意

3、:此旋转抛物面也可以看作是由xOz坐标面上的抛物线绕z轴旋转而得.9B.柱面定义动直线L沿定曲线C移动,并始终保持与一固定的方向l平行,动直线L所形成的轨迹称为柱面,动直线L称为柱面的母线.曲线C称为柱面的准线。设柱面是以xOy坐标面上曲线C：F(x,y)=0为准线,母线平行z轴,柱面的方程应的是怎样的?10设点M(x,y,z)为柱面上的任一点,故点M的坐标满足:F(x,y)=0,即为柱面的方程.过点M的母线与准线的交点为M0(x0,y0,z0),故有:x=x0,y=y0,z=0,且F(x0,y0)=0,11圆柱面椭圆柱面抛物柱面双曲柱面抛物柱面平面12作业P15014

4、;15(1)(2);21(1),(2);23;P163A.5(2),(3);6(1);13C.锥面定义给定一条空间曲线C和不在曲线C上的一定点O,当点M沿曲线C运动时,连接点O和M的直线所形成的曲面称为锥面,并称点O为锥面的顶点,曲线C称为锥面的准线,直线OM称为锥面的母线.设锥面的顶点为坐标原点,其方程:f(x,y,z)=0,有什么特点?当点M(x,y,z)在锥面上,[M(x,y,z)O(0,0,0)],即有:f(x,y,z)=0,则点M(kx,ky,kz)必在直线OM上,也即在锥面上,故有:f(kx,ky,kz)=0.如果f(x,y,z)=f(kx,ky,kz),则f(

5、x,y,z)称为齐次函数.故锥面方程必是齐次方程.14例4.试求以坐标原点O为顶点,平面z=h(h>0),上的圆解:设M(x,y,z)为锥面上任一异于原点O的点,并设母线OM与准线的交点为M0(x0,y0,z0),为准线的圆锥面的方程.15圆锥面的方程可写成:以原点为顶点,准线为:的锥面方程为:1610.4.2二次曲面定义二次代数方程:的图形称为二次曲面.都是二次曲面.17A.椭球面要知道:图形的范围(有限),图形的对称性,与坐标轴的交点(顶点)用截痕法考察椭球面的形状:都是椭圆1819注意到:中心在M0(x0,y0,z0).20B.单叶双曲面注意:曲面的对称性,曲面的无界性,

6、是直纹面.2122C.双叶双曲面注意:双叶双曲面的对称性,双叶双曲面的顶点,曲面的无界性,截痕：2324D.椭圆抛物面注意:曲面的对称性,顶点,曲面的无界性,2526D.双曲抛物面(马鞍面)注意:曲面的对称性,顶点,曲面的无界性,27