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《可分离变量的微分方程(V)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、12.2可分离变量的方程SeparableDifferentialEquations一阶微分方程一般形式：特殊一点的形式：如如的几何意义：方向场（斜率场）例如，微分方程表示：曲线y=f(x)在点(x,y)处的切线斜率为2xy方向场与积分曲线方向场与积分曲线（大范围）方向场与积分曲线（局部）一阶微分方程的解的存在性及唯一性设函数f(x,y)在矩形区域内连续，则初值问题在x0的某个邻域内至少有一个解：y=y(x)设偏导数在矩形区域内连续，则这个解是唯一的。了解存在性唯一性即便是一阶微分方程也没有一种统一求
2、解的方法。微分方程必须根据不同的类型，用不同的方法求解。所以判别微分方程的类型十分重要。下面几节将讨论几种常见类型的方程的解法。最简单的微分方程：通解：例如可分离变量的微分方程分离变量：积分：通解：隐式解验：原方程可分离变量的微分方程分离变量：例1求通解：解分离变量：积分：通解方向场与积分曲线方向场与积分曲线例求初值问题：解整理：分离变量：积分：通解：通解：将x=0,y=1代入：2=C特解：微分方程的解是局部存在，唯一的双曲线with(DEtools):wffc:=y(x)*(1+x^2)*diff(
3、y(x),x)=x*(1+(y(x))^2):DEplot(wffc,y(x),x=-2..2,y=-2..4,[[y(0)=-1],[y(0)=1],[y(0)=3],[y(0)=2]],linecolor=[blue,red,blue,blue],color=blue,stepsize=0.01,scaling=constrained);一族双曲线对一些不能分离变量的微分方程，可以作变量替换将其化为可分离变量的方程。例解方程：解方程不能分离变量令原方程化为：可分离变量分离变量：积分：通解：将x=0
4、,y=1代入通解：特解：可分离变量的微分方程的应用指数模型设某一物质（人口、细菌、放射性元素）的总量x是时间的函数：x=x(t)(未知)已知：该物质的增长（减少）速度与该物质的总量成正比，且已知在时刻t=0时，x(0)=x0求总量函数x=x(t)x的增长（减少）速度：已知：该物质的增长（减少）速度与该物质的总量成正比，且已知在时刻t=0时，x(0)=x0建立微分方程：增长模型减少模型同理TheLawofNaturalGrowthTheLawofNaturalDecay增长模型这是一个可分离变量的微分方
5、程通解将t=0,x=x0代入：x0=C特解：指数增长ExponentialGrowth同理指数减少ExponentialDecay>plot(3*exp(0.3*x),x=0..6,thickness=3,view=[0..6,0..18],ytickmarks=4);指数增长ExponentialGrowthplot(3*exp(-0.3*x),x=0..10,thickness=3,view=[0..10,0..4],ytickmarks=4);指数减少ExponentialDecay例2铀的衰减
6、指数减少模型自学例3降落伞的运动降落伞所受外力：F=mg–kv由牛顿第二定律：F=ma建立微分方程：外力分析：重力：mg阻力：kv分离变量：积分：初始条件：v(0)=0初始条件：v(0)=0通解初始条件：v(0)=0将t=0,v=0代入通解：通解特解初始条件：v(0)=0特解分析：当运动将趋于匀速。习题（可分离变量的方程）
