可分离变量的微分方程(II)

《可分离变量的微分方程(II)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二节可分离变量的微分方程一、一阶微分方程二、可分离变量的微分方程及其求解华南理工大学数学科学学院杨立洪博士一、一阶微分方程首先，对一阶微分方程作一次概要的介绍：例一阶微分方程：可以写成即也可以写成一般，一阶微分方程都具有以下三种等价形式：（1）（2）（3）问题：如何求解一阶微分方程？难！问题的简化：以下几节我们只讨论几种特殊类型的一阶微分方程：二、可分离变量的微分方程及其求解如果一阶微分方程能化成(特点:左边只含有变量y和dy；右边只含有变量x和dx)（4）的形式，则该一阶微分方程称为可分离变量的微分方程什么方程是可分离变量的微分方程呢？形如（5）（6）的一阶微分方程都是可分离

2、变量的微分方程。或第二步：两边积分解法：第一步：分离变量或或针对和依次为和的原函数，设()Hx为微分方程的解(又叫隐式通解)则三、例题例1求微分方程的通解解原方程是一个可分离变量的方程；分离变量两边积分得：从而（C任意常数），即为所求通解。例2求解初值问题解原方程化为它是可分离变量方程分离变量两边积分得：即：记则通解为将代入上式，得故所求特解为解设由题设，有这是一个可分离变量的方程。分离变量例3衰变问题：已知镭的分解速度与所存镭的质量M成正比，已知，求各个时的存镭量。刻两边积分∴，即由初始条件，得∴为所求例4求方程的通解。这是一个可分离变量方程。解令，则分离变量两边积分∴通解为本

3、节学习内容是：1.可分离变量方程的“标准型”；四、小结2.分离变量法步骤：(1)分离变量;(2)两边积分;(3)求得隐式通解五、重点掌握分离变量法。六、难点对某些一阶方程，寻找变量找换，将原方程化为可分离变量方程。七、主要题型1.对可分离变量的一阶微分方程，求通解和特解2.简单的应用题八、学习方法指导熟记“标准型”，掌握可分离变量方程的特征和一些简单的变量代换；会使用分离变量法，并要加强不定积分运算训练。九、常见问题辅导：1.为什么在微分方程中，和常常通用，而不严格区分其的细微之处？答：我们用一个例子来说明：例求解微分方程的通解解一原方程是一个可分离变量的方程；分离变量且两边积分

4、：得：是任意常数；从而:C是任意常数，即为所求通解。解二原方程是一个可分离变量的方程；分离变量且两边积分：，得：是任意常数从而C是任意正常数(这个表达式与解一中的表达式形式完全一样，只要在此处依然理解C是任意常数，约束两个解便完全一致)消失，也就即（C任意常数）为所求通解。2.为什么有时候把积分常数C写成、？常将C写成或这样，。如果时也是方程的解，那未还是任意常数。于是，将解直接写成答：当积分一个微分方程出现自然对数（如：）时，十、课堂练习1.解方程2.解微分方程初值问题，十一、课堂练习题解1.解这是可分离变量方程；分离变量两边积分∴通解为2.解这是对称形式的可分离变量方程；分离

5、变量并积分之，得∴通解将代入，得故特解为十二、自测题一、求下列微分方程的通解：1.2.二、求下列微分方程的特解1.，2.，三、（热水降温问题）设热水瓶内热水温度为T，室温为To，时间单位为小时，根据试验，热水温度降低率与T－To成正比，求T与t的函数关系.又设℃，时T＝100℃，T＝50℃，问几小时后水温为95℃？时十三、自测题题解一、1解这是可分离变量方程，分离变量并两边积分，得：∴通解为一、2解这是可分离变量方程，∴通解为分离变量并两边积分得：二、1解这是可分离变量方程，分离变量，两边积分得∴即：将代入得故特解为二、2解这是对称形式的可分离变量方程；分离变量，两边积分，得故为

6、通解将代入，得故特解为三、解设，由题设，有这是可分离的变量方程，又将初始条件代入，可求得故有令时，（小时）其通解为