变换的定义与收敛域

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1、第二章z变换点击下列选项:§2-1Z变换的定义及收敛域返回§2一.Z变换定义二.收敛域三.常用序列的收敛域四:求收敛域举例一.Z变换定义:序列的Z变换定义如下:*实际上,将x(n)展为z-1的幂级数。引言:离散时间信号与系统变换域分析法:A)Z变换,DFT(FFT)。Z变换可将差分方程转化为代数方程B)Z变换的应用范围更广返回§2.11PK1棋牌公社官网www.kxqipai.net编辑整理二.收敛域1.定义:使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的集合称作X(z)的收敛域.2.收敛条件:X(z)收敛的充要条件是绝对可和。返

2、回§2.1三.常用序列的收敛域(1).预备知识阿贝尔定理:如果级数,在收敛,那么,满足0≤

3、z

4、<

5、z+

6、的z,级数必绝对收敛。

7、z+

8、为最大收敛半径。返回§2.1同样,对于级数,满足的z,级数必绝对收敛。

9、z_

10、为最小收敛半径。返回§2.10n2n1n(n)...(2).有限长序列返回§2.1返回§2.1x(n)n0n1..1...3.右边序列*第一项为有限长序列,第二项为z的负幂级数,返回§2.1收敛域第一项为有限长序列,其收敛域为0<

11、z

12、<∞;第二项为z的负幂次级数,由阿贝尔定理可知,其收敛域为Rx-<

13、z

14、≤∞;两者都收

15、敛的域亦为Rx-<

16、z

17、<∞;Rx-为最小收敛半径。返回§2.1(4)因果序列它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔定理可知收敛域为:返回§2.1(5)左边序列x(n)0nn2返回§2.1第二项为有限长序列,其收敛域;第一项为z的正幂次级数,根据阿贝尔定理,其收敛域为;为最大收敛半径.返回§2.1双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列,即左边序列和右边序列之和。(6)双边序列0nx返回§2.1第二项为左边序列,其收敛域为:第一项为右边序列(因果)其收敛域为:当Rx-

18、。[例2-1]求序列的Z变换及收敛域。解:这相当时的有限长序列,返回§2.1四:求收敛域举例当时,这是无穷递缩等比级数。[例2-2]求序列的Z变换及收敛域。解:返回§2.1*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。收敛域:返回§2.1[例2-3]求序列变换及收敛域。同样的,当

19、b

20、>

21、z

22、时,这是无穷递缩等比级数,收敛。收敛域:*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。返回§2.1本节结束§2-2Z反变换一.定义二.求Z反变换的方法1.留数法2.部分分式法3.幂级数展开法(长除法)返回§2一.定义:已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(

23、n)的变换称作Z反变换。返回§2.2C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.0c返回§2.2二.求Z反变换的方法---1.留数法教材P50页有对Z反变换的推导<1>.留数定理:为c内的第k个极点,为c外的第m个极点,Res[]表示极点处的留数。返回§2.22、当Zr为l阶(多重)极点时的留数:<2>留数的求法:1、当Zr为一阶极点时的留数:返回§2.2[例2-4]已知解:1)当n≥-1时,不会构成极点,所以这时C内只有一个一阶极点因此,求z反变换。返回§2.22)当n≤-2时,X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。

24、因此C内有极点:z=1/4(一阶),z=0为(n+1)阶极点;而在C外仅有z=4(一阶)这个极点,且分母比分子的Z的阶数至少高2:返回§2.22.部分分式法有理式:数字和字符经有限次加、减、乘、除运算所得的式子。有理分式:含字符的式子做分母的有理式,或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。部分分式:把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的和,使各分式具有或的形式,其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约多项式,而且k是正整数。这时称各分式为原分式的“部分分式”。返回§2.2通常,X(z)可 表成有理分式形式:因此,X(z)

25、可以展成以下部分分式形式其中,M≥N时,才存在Bn;Zk为X(z)的各单极点,Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak,Ck分别为:返回§2.2的z反变换。[例2-5]利用部分分式法,求解:分别求出各部分分式的z反变换(可查P54表2-1),然后相加即得X(z)的z反变换。返回§2.2返回§2.23.幂级数展开法(长除法)因为x(n)的Z变换为Z-1的幂级数,即所以在给定的收敛域内,把X(z)展为幂级数,其系数就是序列x(n)。如收敛域为

26、z

27、>Rx+,x(n)为因果序列,则X(z)展成Z的负幂级数。若收敛域

28、Z

29、

30、)必为左边序列,主要展成Z的正幂级数。返回§2.2[例2-6]试用长除法求 的z反变换。解:收敛域为环状,极点z=1/4对应因果序列,极点z=4对应左边序列(双边序列)*双边序列可分解为因果序列和左边序列。*应先展成部分分式再做除法。返回§2.2

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