高等数学学习辅导（2）

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1、高等数学总复习指导（2）1．导数的概念导数定义：函数在点及其某个邻域内有定义，对应于自变量在的改变量Δ＝－，函数相应的改变量，如果当时，极限存在，则称此极限值为函数在点处的导数。例1若函数在点可导，则下列式子中（）是错误的。A．B．C．D．解选择A。根据定义可知A中式子故A是错误的。B中C中设Δ＝－，则＝＋Δ，代入C式中，即为导数定义式。D中设t＝Δ，则D式即为导数定义式。了解导数的几何意义及物理意义，会求曲线的切线方程和法线方程。例2求曲线上与直线平行的切线方程，与直线垂直的法线方程。解直线的斜率为2，曲线的斜率，得代入曲线方程得故

2、切线方程为即请同学们自己计算一下与直线垂直的法线方程。（答案：）1．了解微分的概念：。了解可导、可微的概念，知道可导与可微是等价的，了解函数在处连续是可导的必要条件，但不是充分条件，即在可导，则在必连续，反之不然。2．导数和微分的计算（1）牢记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。（2）熟练掌握复合函数求导法则：若均可导，则，并会推广到多个中间变量的情形。（3）掌握隐含数的微分法，正确地求出隐含数的一阶导数。（4）掌握用参数形式表示的函数的一阶导数求法。（5）了解一阶微分形式的不变性：，不论x为中间变量还是自变量，总

3、具有该形式。（6）了解高阶导数的概念，会求初等函数的二阶导数。例2求下列函数的导数或微分（1），求。（2），求。（3）由方程确定了y是x的函数，求（0）。（4）求曲线在处的切线方程。解（1）（2）＋则＋（3）方程两端对x求导，得故将x=0代入原方程中，得，于是（0）＝。（4）由，得由于时故所求切线方程为。第三章导数的应用本章重点：1．了解拉格朗日种植定理的条件和结论，会用其证明简单的不等式。知道罗尔定理和柯西的条件和结论。2．掌握洛必塔法则，能用其求“”、“”型不定式的极限，以及较简单的“”、“”型不定式的极限。例1求下列极限（1）（

4、2）解（1）＝＝（2）＝＝1．掌握用一阶导数判别函数增减性的方法，会求函数的增减区间。2．理解函数极值点与极值的概念，知道极值存在的必要条件，熟练掌握用一阶导数求函数极值的方法（极值点的充分条件）。知道极值点和驻点的区别与联系。3．了解曲线凹凸的概念，掌握用二阶导数判断曲线凹凸的方法，会求曲线的拐点。例2求曲线的单调区间、极值点、凹凸区间和拐点。解驻点为单调增加区间是，单调减少区间是极大值点是，极小值点是凹区间是，凸区间是拐点。4．熟练掌握求解一些较简单的实际问题中的最大值和最小值的方法，以几何问题为主。例3在半径为R的半球内作一内接

5、圆柱体，求其体积最大时的底面半径和高。解设圆柱体的底面半径为x，则其高为，于是圆柱体体积为求导得令，得驻点根据实际意义知应舍去，故取。因时，；时，，故是V的极大值点，从而也是V的最大值点。故体积最大时，底面半径和高分别是和。