前面在推导傅里叶变换时

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1、前面在推导傅里叶变换时，是将非周期信号看成是周期信号T无穷大的周期信号的极限，从而导出了频谱密度函数的概念。本节将这概念推广去求周期信号的频谱密度函数,即求周期信号的傅里叶变换,从而得出傅里叶级数是傅里叶变换的特例的结论。周期信号是不满足绝对可积条件的,同样它也仅仅在频谱中引入冲激函数后,傅里叶变换才存在。因为周期信号可以展成傅里叶级数,即展成一系列不同频率的复指数分量或正弦、余弦分量的叠加。下面先求复指数、正弦、余弦分量的傅里叶变换,在此基础上再求任意周期信号的傅里叶变换。2.3.4周期信号的傅

2、里叶变换1一、复指数、正弦、余弦信号的傅里叶变换1、复指数信号ej1t的傅里叶变换∵F[1]=2()∴F[ej1t]=F[1ej1t]=2(1)2、余弦信号的傅里叶变换∵cos1t=0.5(ej1t+ej1t)∴F[cos1t]=[(1)+(+1)]3、正弦信号的傅里叶变换∵sin1t=(ej1tej1t)/2j∴F[sin1t]=j[(1)+(+1)]2式中Xn是傅里叶级数的系数。对上式两边取傅里叶变换得二、一般周期

3、信号的傅里叶变换先将任意周期信号x(t)展成傅里叶级数上式说明：周期信号的傅里叶变换是由一系列冲激函数组成的，这些冲激出现在离散的谐频点n1处，它的冲激强度等于x(t)的傅里叶级数Xn的2π倍，因此它是离散的冲激谱。3当周期信号采用傅里叶级数表示频谱时，它是有限的幅度谱，所以两者是有区别的。这是由于傅里叶变换反映的是频谱密度概念，周期信号在各谐振点上，具有有限幅度，说明在这些谐振频点上其频谐密度趋于无限大，所以变成冲激函数。这也说明了傅里叶级数可看作傅里叶变换的一种特例。三、周期信号与单周期信号

4、频谱间的关系周期信号x(t)在时域上可以看作是它的单周期信号xd(t)的周期延拓。已知周期信号的傅里叶级数为：4单周期信号的傅里叶变换比较上两式上式说明：周期信号的傅里叶级数的系数Xn等于单周期信号的傅里叶变换Xd()在各谐频点n1处的值乘以1/T1。或者说，周期信号的频谱是单（非）周期信号频谱在n1处的抽样值，仅差一系数1/T1，这就是为求周期信号的频谱值带来方便。5例2-13求周期冲激信号T(t)的傅里叶级数及傅里叶变换。解：周期为T1的周期冲激信号T(t)可表示为（1）傅里叶级数(

5、用定义)——周期冲激信号的各离散谐频分量的大小均是相等的，且等于1/T16（2）由于单个冲激信号(t)的频谱等于1（白色谱），周期冲激信号的傅里叶系数应是单个冲激信号的傅里叶变换在n1处的抽样值乘以1/T1，所以Xn=1/T1。7(t)t0T(t)t0X()0Xn()02111211/T11X()0211121傅里叶级数傅里叶变换8例2-14求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数及傅里叶变换。x(t)Et0T1解：从单矩形脉冲信号x0(t)入手，x0(t)傅

6、里叶变换为X0()x(t)傅里叶级数x(t)傅里叶变换9x0(t)Et0X0()E2/x(t)Et0T1XnE/T12/1X()E12/110以计算机为中心的测控系统所能处理的信号是离散信号，而传感器所提供的信号一般都是连续信号，因此每隔一定时间间隔从已知连续信号中逐点抽取其瞬时值，从而获得抽样信号。信号的抽样过程也就是信号在时间轴上的离散化过程,由抽样器进行。抽样器实质上是一个采样开关，每隔一定时间T接通一次，每次接通时间τ。2.4.1时域抽样2.4抽样信号

7、的傅里叶变换x(t)xs(t)Tx(t)t0xs(t)t0T2T3T11从时域上看，抽样过程丢失了信号在抽样间隔的信息，因此要解决抽样周期T的选择问题。直观看，对缓慢变化的信号，T可以大些，对快速变化的信号，T要小些。说明了T的选择与信号频率有关，研究：1）抽样信号的频谱与原信号频谱的关系？2）连续信号被抽样后，是否保留原信号的全部信息？在什么条件下，可以从抽样信号中无失真的恢复出原信号？抽样量化编码调制信号x(t)数字信号抽样脉冲p(t)xs(t)载波信号12令x(t)的傅里叶变换为X()=F

8、[x(t)]抽样脉冲序列p(t)的傅里叶变换为P()=F[p(t)]抽样后信号的傅里叶变换为xs(t)为Xs()=F[xs(t)]若采用均匀抽样,抽样周期为Ts,频率为一般情况下,抽样过程是通过抽样脉冲序列p(t)与连续信号x(t)相乘来完成,即满足xs(t)=x(t)p(t)∵p(t)是周期信号，其傅里叶变换13根据频域卷积定理上式说明：信号在时域被抽样后，它的频谱Xs()是连续信号频谱X()的形状以抽样频率s为间隔周期地重复而得到，在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶系