傅里叶变换推导

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1、实用标准文案傅里叶变换推导傅里叶变换函数所要满足的条件：以T为周期，且在区间[-T2,T2]上满足狄利克雷（dirichlet）条件：1，?(t)在[-T2,T2]上连续或只有有限个第一类间断点；2，?(t)在[-T2,T2]上只有有限个间断点。则函数在连续点处可表示有fx=a02+n=1∞ancosnωt+bnsinnωt其中ω=2πTan=2T-T/2T/2ftcosnωtdt(n=0,1,2,…..bn=2T-T/2T/2ftsinnωtdt(n=0,1,2,…..利用欧拉公式cosθ=ejθ+e-jθ2sinθ=ejθ-e-jθ2j改写上式：ft=a02+n=1∞anej

2、nωt+e-jnωt2+bnejnωt-e-jnωt2j=a02+n=1∞an-jbn2ejnωt+an+jbn2e-jnωtc0=a02=1T-T/2T/2ftdtcn=an-jbn2=1T[-T2T2ftcosnωtdt–j-T2T2ftsinnωtdt]=1T-T2T2ftcosnωt-jsinnωtdt=1T-T2T2ftejnωtdt(n=1,2,3….)c-n=an+jbn2=1T-T2T2fte-jnωtdt（n=0,-1,-2,-3….）精彩文档实用标准文案则它们可合成一个式子：cn=1T-T2T2ftejnωtdt(n=…-2,-1,0,1,2,3….)若令ωn

3、=nω(n=…..-2,-1,0,1,2…..)则可表示为：ft=n=-∞+∞cnejωnt这就是傅里叶级数的复指数形式，或者表示为：ft=1Tn=1∞[-T2T2fτe-jωnτdτ]ejωnt一般函数可看作周期无限大的周期函数ft=limT⟶∞1Tn=1∞[-T2T2fτe-jωnτdτ]ejωnt最终可求出傅里叶积分公式ft=12π-∞+∞[-∞+∞fτe-jωτdτ]ejωτdω精彩文档实用标准文案傅里叶变换的基本性质性质时域f(t)频域F（?）时域频域对应关系线性i=1na1fi(t)i=1na1Fi(ω)线性叠加对称性F(t)2?f(-?)对称尺度变换f(at)1aF

4、(ωa)压缩与扩展f(-t)F(-ω)反时移f(t-t0)F(ω)e-jωt0时移与相移f(at-t0)1aF(ωa)e-jωt0a频移f(t)ejω0tF(?-?0)调制与频移f(t)ejω0tcos⁡(ω0t)12[Fω+ω0+F(ω-ω0])f(t)ejω0tsin⁡(ω0t)j2[Fω+ω0-F(ω-ω0])时域微分df(t)dtjωF(ω)dnf(t)dtn（jω）nF(ω)频域微分-jtf(t)dF(ω)dω(-jt)nf(t)dnF(ω)dωn时域积分-∞tfτdτ1jωFω+πF0δ(ω)时域卷积f1(t)*f2(t)F1(ω)F2(ω)成绩与卷积频域卷积f1(t

5、)f2(t)12πF1(ω)*F2(ω)时域抽样n=-∞∞ftδ(t-nTs)1Tsn=-∞∞F(ω-2πnTs)抽样与重复频域抽样1ωsn=-∞∞f(t-2πnωs)n=-∞∞Fωδ(ω-nωs)相关R12(τ)R21(τ)F1ωF2*ωF2ωF1*ω自相关R(τ)

6、Fω

7、2精彩文档