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时间:2019-07-13
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1、1.3.1函数的单调性与导数yx0(4).对数函数的导数:(5).指数函数的导数:(3).三角函数:(1).常函数:(C)/0,(c为常数);(2).幂函数:(xn)/nxn1复习:基本初等函数的导数公式单调性的定义对于函数y=f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质,叫做f(x)在这个区间上的单调性,这个区间叫做f(x)的单调区间。知识回顾一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x12、性有哪些方法?比如:判断函数的单调性。xyo函数在上为____函数,在上为____函数。图象法定义法减增如图:思考:那么如何求出下列函数的单调性呢?(1)f(x)=2x3-6x2+7(2)f(x)=ex-x+1(3)f(x)=sinx-x发现问题:用单调性定义讨论函数单调性虽然可行,但十分麻烦,尤其是在不知道函数图象时。例如:2x3-6x2+7,是否有更为简捷的方法呢?下面我们通过函数的y=x2-4x+3图象来考察单调性与导数有什么关系2yx0.......再观察函数y=x2-4x+3的图象:总结:该函数在区间(-∞,2)上单减,切线斜率小于0,即3、其导数为负;而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.在区间(2,+∞)上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.结论:在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数函数单调性与导数正负的关系注意:应正确理解“某个区间”的含义,它必是定义域内的某个区间。课本思考思考1:如果在某个区间内恒有,那么函数有什么特性?几何意义4、:关系:思考2:结合函数单调性的定义,思考某个区间上函数的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。例1、已知导函数的下列信息:当10;当x>4,或x<1时,<0;当x=4,或x=1时,=0.则函数f(x)图象的大致形状是()。xyo14xyo14xyo14xyo14ABCDD导函数f’(x)的------与原函数f(x)的增减性有关正负1.应用导数求函数的单调区间(选填:“增”,“减”,“既不是增函数,也不是减函数”)(1)函数y=x-3在[-3,5]上为__________函数。(2)函数y=x2-3x在[2,+∞)上为_____函数5、,在(-∞,1]上为______函数。基础训练:应用举例增增减求函数的单调区间。例2变1:求函数的单调区间。理解训练:解:的单调递增区间为单调递减区间为解:的单调递增区间为单调递减区间为变3:求函数的单调区间。变2:求函数的单调区间。巩固提高:解:解:注意:单调区间不可以并起来.例3、判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1)f(x)=x3+3x;解:=3x2+3=3(x2+1)>0从而函数f(x)=x3+3x在x∈R上单调递增,见右图。(2)f(x)=x2-2x-3;解:=2x-2=2(x-1)图象见右图。当>0,即x>1时,函数单调递增;当<6、0,即x<1时,函数单调递减;(3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p)解:=cosx-1<0从而函数f(x)=sinx-x在x∈(0,)单调递减,见右图。(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;解:=6x2+6x-24=6(x2+x-4)当>0,即时,函数单调递增;图象见右图。当<0,即时,函数单调递减;(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;练习(P26练1)判断下列函数的单调性,并求出单调区间:例4、如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图7、象。总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时,应考虑导数法。纳1°什么情况下,用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便?2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤?归设是函数的导函数,的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C思考题A求参数的取值范围例2:解:由已知得因为函数在(0,1]上单调递增在某个区间上,,f(x)在这个区间上单调递增(递减);但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f(x)在这个区间上单调8、,所以对于能否取到等号的问题需要单独验证注意讨论a=的情形例3:方程根的问题求证:方程只有一个根。B2.函数y=a(x3-
2、性有哪些方法?比如:判断函数的单调性。xyo函数在上为____函数,在上为____函数。图象法定义法减增如图:思考:那么如何求出下列函数的单调性呢?(1)f(x)=2x3-6x2+7(2)f(x)=ex-x+1(3)f(x)=sinx-x发现问题:用单调性定义讨论函数单调性虽然可行,但十分麻烦,尤其是在不知道函数图象时。例如:2x3-6x2+7,是否有更为简捷的方法呢?下面我们通过函数的y=x2-4x+3图象来考察单调性与导数有什么关系2yx0.......再观察函数y=x2-4x+3的图象:总结:该函数在区间(-∞,2)上单减,切线斜率小于0,即
3、其导数为负;而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.在区间(2,+∞)上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.结论:在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数函数单调性与导数正负的关系注意:应正确理解“某个区间”的含义,它必是定义域内的某个区间。课本思考思考1:如果在某个区间内恒有,那么函数有什么特性?几何意义
4、:关系:思考2:结合函数单调性的定义,思考某个区间上函数的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。例1、已知导函数的下列信息:当10;当x>4,或x<1时,<0;当x=4,或x=1时,=0.则函数f(x)图象的大致形状是()。xyo14xyo14xyo14xyo14ABCDD导函数f’(x)的------与原函数f(x)的增减性有关正负1.应用导数求函数的单调区间(选填:“增”,“减”,“既不是增函数,也不是减函数”)(1)函数y=x-3在[-3,5]上为__________函数。(2)函数y=x2-3x在[2,+∞)上为_____函数
5、,在(-∞,1]上为______函数。基础训练:应用举例增增减求函数的单调区间。例2变1:求函数的单调区间。理解训练:解:的单调递增区间为单调递减区间为解:的单调递增区间为单调递减区间为变3:求函数的单调区间。变2:求函数的单调区间。巩固提高:解:解:注意:单调区间不可以并起来.例3、判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1)f(x)=x3+3x;解:=3x2+3=3(x2+1)>0从而函数f(x)=x3+3x在x∈R上单调递增,见右图。(2)f(x)=x2-2x-3;解:=2x-2=2(x-1)图象见右图。当>0,即x>1时,函数单调递增;当<
6、0,即x<1时,函数单调递减;(3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p)解:=cosx-1<0从而函数f(x)=sinx-x在x∈(0,)单调递减,见右图。(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;解:=6x2+6x-24=6(x2+x-4)当>0,即时,函数单调递增;图象见右图。当<0,即时,函数单调递减;(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;练习(P26练1)判断下列函数的单调性,并求出单调区间:例4、如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图
7、象。总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时,应考虑导数法。纳1°什么情况下,用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便?2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤?归设是函数的导函数,的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C思考题A求参数的取值范围例2:解:由已知得因为函数在(0,1]上单调递增在某个区间上,,f(x)在这个区间上单调递增(递减);但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f(x)在这个区间上单调
8、,所以对于能否取到等号的问题需要单独验证注意讨论a=的情形例3:方程根的问题求证:方程只有一个根。B2.函数y=a(x3-
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