函数及基本初等函数4函数的奇偶性与周期性

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1、第四讲函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性注：若函数f(x)不具有上述性质,则称f(x)不具有奇偶性;若函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数.例:函数f(x)=0(x∈D,D关于原点对称)是既奇又偶函数.相同相反奇函数偶函数奇函数（3）奇函数:f(0)=0(0在定义域中)偶函数:f(x)=f(

2、x

3、)3、函数奇偶性的判定方法（1）.根据定义判定:首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称,则函数是非奇非偶函数;若对称,再判定f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).（2）.利用定理,借助函数的图象判定:（3）.性质法判定:在公共定义域内,两奇函数之积(商)为偶函数

4、;两偶函数之积(商)也为偶函数;一奇一偶函数之积(商)为奇函数.(注意取商时分母不为零!)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑判定f(-x)f(x)=0或判定=1.f(x)f(-x)4.一些重要类型的奇偶函数①函数f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)为____函数，函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)为____函数；②函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)为奇函数；③f(x)＝loga(x＋)(a>0，且a≠1)为奇函数偶奇例2[思路]分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)

5、或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的单调性。例3[2010·保定模拟]已知函数y＝f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意x1，x2∈R，都有f(x1·x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)，则对函数f(x)，下列判断正确的是()A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)为非奇非偶函数D．f(x)既是奇函数又是偶函数B题型二函数奇偶性的性质及其应用2.[2010·江苏卷]设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝______.[思路]利用奇偶函数的性质，得到参数a满足的方程．－1[解析]本题考查

6、函数的基本性质中的奇偶性，该知识点在高考考纲中为B级要求．设g(x)＝ex＋ae－x，x∈R，由题意分析g(x)应为奇函数(奇函数×奇函数＝偶函数)，∵x∈R，∴g(0)＝0，则1＋a＝0，所以a＝－1.D函数的周期性f(x＋T)＝f(x)周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有____________，则称f(x)为周期函数，其中T称为f(x)的周期．若T中存在一个最小的正数，则称它为f(x)的____________．(2)性质：①f(x＋T)＝f(x)常常写作f＝f；②f(x)的周期为T，则函数f(wx)(w≠0)也是周期函数，且周期为____．

7、最小正周期B练3.定义在R上的函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3，则f(－2009)的值是()A．－1B．0C.1D．2解析：由已知条件f(4＋x)＝f[1－(3＋x)]＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝－f[1－(1＋x)]＝－f(－x)＝f(x)，则函数y＝f(x)是周期为4的周期函数f(－2009)＝－f(2009)＝－f(4×502＋1)＝－f(1)＝－1.答案：A已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x)＋f(x－1)＝1，当x∈[0,1]时，有f(x)＝x2，现有三个命题：①f(x)是以2为周期的函

8、数；②当x∈[1,2]时，f(x)＝－x2＋2x；③f(x)是偶函数．其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵f(x)＋f(x－1)＝1，(1)∴f(x＋1)＋f(x)＝1.(2)(2)－(1)得f(x＋1)－f(x－1)＝0，∴f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是以2为周期的函数．②正确．当x∈[1,2]时，x－1∈[0,1]，∴f(x)＝1－f(x－1)＝1－(x－1)2＝2x－x2(x∈[0,1]时，f(x)＝x2)．③错误．当x∈[－1,0]时，x＋1∈[0,1]．∴f(x)＝1－f(x＋1)＝1－(x＋1)2，∴f(x)＝－x2－2x

9、，又∵－x∈[0,1]，∴f(－x)＝(－x)2＝x2，∴f(x)≠f(－x)，f(x)不是偶函数．答案：①②