函数与基本初等函数》函数的奇偶性和周期性

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1、第3课时　函数的奇偶性和周期性2011·考纲下载1．了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性．2．掌握奇函数与偶函数的图象对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题．新课标《考试大纲》把函数的奇偶性又提到与函数的单调性同等地位，因此，函数的奇偶性在新高考中占有重要的地位，成为新的热点，在命题时主要是与函数的概念、图象、性质综合在一起考查．而近几年的高考中加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性，周期性的考查力度.请注意!1．奇函数、偶函数、奇偶性对于函数f(x)

2、，其定义域关于原点对称：①如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就是奇函数；②如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就是偶函数；③如果一个函数是奇函数(或偶函数)，则称这个函数在其定义域内具有奇偶性．课前自助餐课本导读2．证明函数奇偶性的方法步骤①确定函数定义域关于原点对称；②判定f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，从而证得函数是奇(偶)函数．3．奇偶函数的性质①奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；②

3、若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝0；③奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性一致；偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性相反．④若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(

4、x

5、)，反之也成立．4．周期函数若f(x)对于定义域中任意x均有f(x＋T)＝f(x)(T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数．1．对任意实数x，下列函数中的奇函数是()A．y＝2x－3B．y＝－3x2C．y＝ln5xD．y＝－

6、x

7、cosx答案C2．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数

8、，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图象上的是()A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a))答案B4．(2010·广东卷)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数答案B解析　由f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)可知f(x)为偶函数，由g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3

9、－x)＝－g(x)可知g(x)为奇函数．5．(2010·安徽卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()答案A解析　由于函数f(x)的周期为5，所以f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.题型一判断函数的奇偶性授人以渔探究1判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数

10、；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于±f(x)．(2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称．(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)思考题1判断下列函数的奇偶性(2)g(x)的定义域为R当a＝0时，g(x)＝x2＋

11、x

12、g(－x)＝(－x)2＋

13、－x

14、＝x2＋

15、x

16、＝g

17、(x)此时g(x)为偶函数当a≠0时，g(a)＝a2，g(－a)＝a2＋2

18、a

19、显然g(a)≠g(－a)，g(a)≠－g(－a)∴此时g(x)既不是奇函数，也不是偶函数．题型二奇偶性的应用(3)∵f(x＋1)为偶函数∴函数g(x)＝f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称又函数f(x)的图象是由函数g(x)＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位而得∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．探究2奇偶函数的性质主要体现在①若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)②

20、奇偶函数的对称性③奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性思考题2(1)若函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，满足f(π)－π即－π